¿$\{g \cdot a \cdot g^{-1} : g \in \text{GL}_n(\mathbb{R})\}$ cerrado en semisimple de #% de #% de $\text{M}_m(\mathbb{R})$ iff %?

Question

Que $k = \mathbb{R}$y vista $\text{M}_m(\mathbb{R})$ como un espacio topológico con la identificación natural de $\text{M}_m(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{m^2}$. Que $$\mathbb{O}_a = \{g \cdot a \cdot g^{-1} : g \in \text{GL}_n(\mathbb{R})\}$% # %a de #% \in \text{M}_m(\mathbb{R})$.

Pregunta. ¿Sigue que el conjunto de $denote the conjugacy class of an element $ está cerrada en $\mathbb{O}_a$ si y sólo si el % de elemento $\text{M}_m(\mathbb{R})$es semisimple?

Answer 1

Sea $a$ semi simple y $p(x)$ ser su característica polinomial; entonces es $m\in\mathbb{R}[x]$, con raíces complejas simples, s.t. $m(a)=0_n$. Que $(u_k)$ sea una secuencia de $O_a$ que converge a $u\in M_n(\mathbb{R})$. Claramente $m(u_k)=p(u_k)=0_n$ y, por continuidad, $m(u)=p(u)=0_n$, que implica $u\in O_a$.

Por el contrario, que $a$ no ser semi simple. Hay $D\in M_n(\mathbb{R})$ semi simple, $N\in M_n(\mathbb{R})$cero nilpotentes s.t. $a=D+N,DN=ND$. Para cada entero positivo $k$, $u_k=D+1/kN\in O_a$. La secuencia $(u_k)$ tiende a $D\notin O_a$.