Límite

Question

En primer lugar, lo siento si algo similar a esto se ha publicado antes (es mi primera vez en esta web). Necesito calcular el límite de $n\rightarrow \infty$ para esto:

$$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt [n]{\dfrac{(3n)!}{n!(2n+1)!}}$$

Pero no sé que pasos debo seguir para hacerlo.

Gracias todos de antemano :)

Answer 1

Puede utilizar el siguiente resultado:

Deje $(a_n)$ ser una secuencia de números reales positivos. Si $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$, $\sqrt[n]{a_n}$ converge demasiado y $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L$.

Véase, por ejemplo, los siguientes puestos de trabajo (y de otros puestos que allí se muestran entre vinculado preguntas):

• La convergencia de la Relación de la Prueba implica la Convergencia de la Raíz de la Prueba
• Encontrar el límite de $\frac {n}{\sqrt[n]{n!}}$
• La desigualdad que involucra $\limsup$ $\liminf$

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Si se aplica el resultado anterior a $a_n=\frac{(3n)!}{n!(2n+1)!}$ se obtiene que el límite es $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)(2n+3)(2n+2)} = \frac{27}4.$$

Answer 2

Utilizando la fórmula de Stirling, $n!\approx n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$ (te dejo la explicación terminante de lo que $\approx$ significa en este contexto), tenemos $$ \frac{(3n)!}{n!(2n)!}\approx \frac{(3n)^{3n}e^{-3n}\sqrt{6\pi n}}{n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}(2n)^{2n}e^{-2n}\sqrt{4\pi n}}=\frac{27^{n}}{4^{n}}\cdot \sqrt{\frac{3}{4n}}. de este usted debe encontrar que el límite es de $\frac{27}{4}$.

Answer 3

Sin Stirling:

considerar $e^{\frac{\log a_n}{n}}$, donde $a_n = \frac{(3n)!}{n!(2n+1)!}$ y tener en cuenta que $\log n! = \sum_{k=1}^{n} \log k \sim \int_{1}^{\infty} \log x dx = n \log n - (n-1)$. Un montón de términos cancelará hacia fuera, muchos dividen $n$ y el resto será de la forma $e^{\frac{1}{n}} \to_n 1$.