Si $A = \tan6^{\circ} \tan42^{\circ},~~B = \cot 66^{\circ} \cot78^{\circ}$ encontrar la relación entre $A$y $B$

Question

Mi problema trigonométrico es:

Si $A = \tan6^{\circ} \tan42^{\circ}$ B = buscar de cuna $66^{\circ} \cot78^{\circ}$ la relación entre $A$y $B$.

De trabajo:

$$B = \cot 66^{\circ} \cot78^{\circ} = 1- \frac{\tan24^{\circ}+\tan18^{\circ}}{\tan42^{\circ}}$$

$$A= \tan6^{\circ} \tan42^{\circ} = 1- \frac{\tan6^{\circ} +\tan42^{\circ}}{\tan48^{\circ}}$$

pero parece que esta es la manera equivocada de hacer esto... por favor sugerir. ¡Gracias!

Answer 1

Utilizando

$2\cos A\cos B=\cos(A-B)+\cos(A+B)$ and $2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B),$

$$A=\frac{\sin 6^\circ\cdot \sin 42^\circ}{\cos 6^\circ\cdot \cos 42^\circ}=\frac{\cos36^\circ-\cos48^\circ}{\cos36^\circ+\cos48^\circ}$$

Aplicación de Componendo y dividendo, $$\frac{1+A}{1-A}=\frac{\cos36^\circ}{\cos48^\circ}

De manera similar, usando

$2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B)$ and $2\cos A\sin B=\sin(A+B)-\sin(A-B),$

$$B=\frac{\cos66^\circ \cos72^\circ}{\sin66^\circ \sin72^\circ}=\frac{\cos66^\circ \sin18^\circ}{\sin66^\circ \cos18^\circ}=\frac{\sin84^\circ-\sin48^\circ}{\sin84^\circ+\sin48^\circ}$$

Aplicación de Componendo y dividendo, $$\frac{1+B}{1-B}=\frac{\sin84^\circ}{\sin48^\circ}

$$\implies \frac{1+A}{1-A}\cdot\frac{1+B}{1-B}=\frac{\sin84^\circ\cdot \cos36^\circ}{\sin48^\circ\cdot \cos48^\circ}=\frac{2\sin84^\circ\cdot \cos36^\circ}{\sin(2\cdot48)^\circ}=2\cos36^\circ$$ as $\sin96^\circ=\sin(180-96)^\circ=\sin84^\circ$

Ahora $\cos36^\circ$ puede ser encontrado aquí

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que $A \approx 0.0946362785$, $\ \ B \approx 0.0946362785$.

Ahora, vamos a probar que $\ \ \ \Large{A=B.}$

a).

$$\dfrac{A}{B} = \dfrac {\pecado 6^\circ \pecado 42^\circ} {\cos 6^\circ \cos 42^\circ} \cdot \dfrac {\pecado 66^\circ \pecado 78^\circ} {\cos 66^\circ \cos 78^\circ} = \dfrac {\bigl( 2 \pecado 6^\circ \pecado 66^\circ \bigr) \cdot \bigl( 2 \pecado 42^\circ \pecado 78^\circ \bigr)} {\bigl( 2 \cos 6^\circ \cos 42^\circ \bigr) \cdot \bigl( 2 \cos 66^\circ \cos 78^\circ \bigr)}. \etiqueta{1}$$

b). La aplicación de las fórmulas

$\ \ \ \ 2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$, $\ \ \ $

$\ \ \ \ 2\cos\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)$,

$\ \ \ \ \ (1) \implies$ $$\dfrac{A}{B} = \dfrac {\bigl( \cos 60^\circ - \cos72^\circ \bigr) \cdot \bigl( \cos 36^\circ - \cos 120^\circ \bigr)} {\bigl( \cos 60^\circ + \cos72^\circ \bigr) \cdot \bigl( \cos 36^\circ + \cos 120^\circ \bigr)} = \dfrac {\bigl( \frac{1}{2} - \cos72^\circ \bigr) \cdot \bigl( \cos 36^\circ + \frac{1}{2} \bigr)} {\bigl( \frac{1}{2} + \cos72^\circ \bigr) \cdot \bigl( \cos 36^\circ - \frac{1}{2} \bigr)}. \etiqueta{2}$$

c). Es conocido, que el $\ \ \ \ \cos72^\circ = \sin 18^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)$,

así $\ \ \ \ \ \ \cos 36^\circ = 1 - 2(\sin 18^\circ)^2 = \frac{8}{8} - \frac{1}{8}(5-2\sqrt{5}+1) = \frac{1}{4}(\sqrt{5}+1)$,

y $\ \ \ \ \ cos 72^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{16}(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = \frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.

Por lo tanto (2) $\implies$

$$\dfrac{A}{B} = \dfrac {\frac{1}{2}\cos 36^\circ - \cos 72^\circ \cos 36^\circ +\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos 72^\circ} {\frac{1}{2}\cos 36^\circ +\cos 72^\circ \cos 36^\circ -\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos 72^\circ } = \dfrac {\frac{1}{2}(\cos 36^\circ - \cos 72^\circ)} {\frac{1}{2}(\cos 36^\circ - \cos 72^\circ) } =\Large{1}. \etiqueta{3}$$

Demostró.

Answer 3

$$A=Tan(6^\circ)\,Tan(42^\circ)=Tan(2.3^\circ)Tan(45^\circ-3^\circ)=\frac{2Tan(3^\circ)}{1-Tan^2(3^\circ)}\frac{1-Tan(3^\circ)}{1+Tan(3^\circ)}=\frac{2Tan(3^\circ)}{\left(1+Tan(3^\circ)\right)^2}$$ $\:$

$$B=Tan(24^\circ)\,Tan(12^\circ)=Tan(2.12^\circ)Tan(12^\circ)=\frac{2Tan^2(12^\circ)}{1-Tan^2(12^\circ)} \implies$$

$\:$ $$Tan(12^\circ)=\sqrt{\frac{B}{B+2}}$$ But $$Tan(12^\circ)=Tan(15^\circ-3^\circ)=\frac{(2-\sqrt{3})-Tan(3^\circ)}{(2-\sqrt{3})+Tan(3^\circ)}\implies$$

$$Tan(3^\circ)=\left(\frac{\sqrt{B+2}-\sqrt{B}}{\sqrt{B+2}+\sqrt{B}}\right)(2-\sqrt{3})$$ Substitute $\,$$Tan(3^\circ)$ anterior en la expresión del $A$ para obtener la relación necesaria