Sabemos que un vector tangente es un operartor derivado direccional, y la colección de todos los vectores tangentes en un punto es un espacio tangente. No entiendo el sentido intuitivo del espacio dual a un espacio tangente. ¿Lo que me gustaría saber es qué tipo de operador es un vector en el espacio dual de espacio tangente?
Respuestas
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Aquí es un ejemplo. Si $M$ es de un colector y $f : M \to \mathbb{R}$ una función escalar, entonces para un punto de $p \in M$ la derivada (o gradiente) $df_p : T_p(M) \to \mathbb{R}$ es, naturalmente, la cotangente de un vector (un elemento del dual del espacio de la tangente). Se mide la cantidad de $f$ cambios en la dirección de un vector tangente. Por ejemplo, si $M$ es una habitación y $f$ es la temperatura de un punto de la habitación, a continuación, $df_p$ mide la rapidez con que cambia la temperatura en una dirección particular.
Andy
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Hay un par de maneras de mirar la cotangente vectores (las cosas dual a la tangente vectores). Dependiendo de en qué posición estás tratando de tomar, algunos son más naturales que otros.
En el nivel más básico, si usted tiene un colector de dimensión $n$, e $p\in M$,$T_pM \cong T^*_p M \cong \mathbb{R}^n$. Sin embargo, este isomorfismo no dice nada acerca de donde viene todo esto.
Un poco mejor respuesta viene al darse cuenta de que los vectores de tangentes actuar en las funciones con valores reales. Deje $v$ ser un vector tangente a $p$, y deje $f$ ser una función. En primer lugar, tomamos nota de que $v\mapsto v(f)$ es una función lineal, por lo $f$ determina un elemento de la $T_p^*M$. También se $v(f)=v(f+c)$, y por tanto, si estamos tratando de entender esta acción, podemos buscar en las funciones que satisfacen $f(p)=0$. Ahora, vamos a $f,g$ funciones $f(p)=g(p)=0$. Luego, por la regla del producto $v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)=0$.
Podemos reformular todo esto de la siguiente manera: Si dejamos $\mathfrak{m}_p \subset C^{\infty}(M)$ a ser el ideal de las funciones de fuga en $p$, y deje $df_p\in T^*_pM$ ser tal que $df_p(v)=v(f)$. Entonces la constante de funciones, y $\mathfrak{m}_p^2$, ambos están en el núcleo de el mapa de $d(-)_p$.
Sin embargo, debido a que los vectores de tangentes sólo importa lo que una función está haciendo a nivel local, que en realidad no quieres estar mirando a la acción de la $v$ sobre las funciones, sino en los gérmenes de funciones, que codifican la idea de tener una función definida sólo a nivel local. Cambio de todo lo anterior en términos de los gérmenes (por lo que el $\mathfrak{m}_p$ es la colección de gérmenes de funciones en $p$ que se desvanecen en $p$), tenemos una natural mapa de $\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2 \to T_p^*M$. Utilizando el teorema fundamental del cálculo, podemos demostrar que este es un isomorfismo.
Así que la cotangente vectores son clases de equivalencia de (los gérmenes de funciones, donde dos funciones son equivalentes si difieren por una constante función o una función que se desvanece en $p$ con la multiplicidad, al menos,$2$. En este sentido, no son los operadores, pero que actúan sobre vectores tangente, permitiendo la tangente vectores para actuar sobre ellos.
Un poco más avanzado punto de vista, es poner todos los tangente espacios juntos, y todos los cotangente espacios juntos. Si usted toma un vector tangente en cada punto (y hacerlo de tal manera que el vector de elegir varía suavemente), se obtiene la noción de un campo vectorial. Campos vectoriales actuar en funciones para dar funciones. Del mismo modo, si tienes que elegir un cotangente del vector en cada punto (de tal forma que el vector varía suavemente), se obtiene la noción de diferencial ($1$ -). Formas diferenciales actuar en campos vectoriales para dar funciones. En cierto sentido, esta acción se configura $TM$ $T^*M$ como duales para cada uno de los otros, pero duales con respecto al anillo de funciones $C^{\infty}(M)$, no el espacio vectorial duales. Esto hace de la pintura de formas diferenciales como operadores de una especie.
Alexei Averchenko
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Considere la posibilidad de $p \in M$, y de un espacio vectorial de los gérmenes $C_p^\infty$ en este punto. A continuación, tomar un subespacio $S_p^\infty \subset C_p^\infty$ tal que para cualquier $[f] \in S_p^\infty$ las siguientes igualdades: se $\partial f / \partial x^i|_p = 0,\ i = 1,\ldots,n$ en algunas gráfico. Es fácil comprobar que $S_p^\infty$ está definida correctamente.
Ahora se puede demostrar que $C_p^\infty / S_p^\infty =: T_p^*M$ tiene dimensión de $n$ (como nosotros "aniquilar" todas las diferencias entre los gérmenes que se diferencian por un "estacionaria" germen). La imagen de una función de $f \in C^\infty(M)$ $T_p^* M$ llamamos su diferencial en el punto $p$: $$f \mapsto [f] \mapsto \mathrm{d}f_p.$$ Now we can define tangent space at the point $p$ as $T_p M := T_p^{**} M$ and identify $T_p^* M$ with its double dual $T_p^{***} M = (T_p M)^*$ further on: $$\mathrm{d}f_p(X) = X(\mathrm{d}f_p) =: X(f).$$
