Larga historia corta: Las variables aleatorias tienen las mismas expectativas cuando siguen distribuciones idénticas.
Tengo una baraja de estas cuatro cartas, con valores 1,2,3,4. Yo baraja el mazo y lugar de dos cartas boca abajo, uno a su izquierda y a tu derecha.
¿Cuál es su expectativa de que el valor de la tarjeta a su izquierda?
¿Cuál es su expectativa de que el valor de la tarjeta en su derecho?
Sugerencia: yo no te he dicho que he colocado en primer lugar. ¿Importa?
De hecho, vamos a ir por delante de un lugar, las otras dos cartas boca abajo. ¿Cuál es su expectativa para los valores de cada una de estas así?
Usted ve, la dependencia de las cartas no significa que la esperanza condicional, $\mathsf E(X_2\mid X_1)$, de hecho, no será constante, sino una función de $X_1$; sin embargo, estamos no discutir el condicional expectativas, sólo la expectativa.
Aún así, vamos a examinar la esperanza condicional y el uso de la ley de expectativas iteradas:
$$\begin{align}\mathsf E(X_2\mid X_1=k) ~&=~\begin{cases} \tfrac 13(~~~~~~~2+3+4)&:&k=1\\\tfrac 13(1+~~~~~~~3+4)&:&k=2\\\tfrac 13(1+2+~~~~~~~4)&:&k=2\\\tfrac 13(1+2+3~~~~~~~)&:&k=4 \end{cases}\\[2ex] \mathsf E(X_2) ~&=~ \mathsf E(\mathsf E(X_2\mid X_1)) \\[1ex] &=~ \tfrac 14\big(\mathsf E(X_2\mid X_1=1)+\mathsf E(X_2\mid X_1=2)+\mathsf E(X_2\mid X_1=3)+\mathsf E(X_2\mid X_1=4)\big)\\[1ex] &=~ \tfrac 14(1+2+3+4) \\[1ex] &=~ \mathsf E(X_1)\end{align}$$
El contraste con el Cupón de la Colección. ¿Por qué no es el mismo?
Donde las variables aleatorias para las tarjetas son los valores de las cartas al azar, el azar variables utilizadas en el cupón de la colección son: el número de sorteos (con reemplazo) después de la $k-1$-th nuevo valor hasta que el $k$ nuevo valor es dibujar ("nuevo valor", es decir un valor no dibujado previamente).
Es decir, con la misma baraja de cartas, vamos a $Y_1$ ser el recuento de los sorteos hasta el primer nuevo valor se dibuja, $Y_2$ ser el recuento de los sorteos después de que hasta el segundo nuevo valor se dibuja, $Y_3$ ser el recuento de los sorteos después de que hasta el tercer nuevo valor se dibuja, y $Y_4$ ser el recuento de los sorteos después de que hasta el último nuevo valor se dibuja.
$$\mathsf E(Y_1)=1, \mathsf E(Y_2)=4/3, \mathsf E(Y_3)=4/2, \mathsf E(Y_4)=4$$
Estas variables aleatorias tienen diferentes expectativas no porque son dependientes o independientes, pero más bien es debido a que las variables aleatorias tienen diferentes distribuciones.‡
( † , De hecho son independientes.)
(‡ Siguen Distribuciones Geométricas con diferentes tarifas.)
