¿Puede ser probado/disproven que son altamente compuesto números que primer factorizar en números primos más grandes tales como $9999991$?

Question

Por supuesto, siguiendo las reglas encontrado por Ramanujan, un compuesto altamente número necesitaría para factorizar en todos los números primos ascendente hasta 9999991 (descendente con poderes como los números primos progreso) por lo que el compuesto altamente número sería increíblemente grande.

Sin embargo, un compuesto altamente número de necesidades de otros factores más que todos los otros números anteriores, así que seguramente cualquier número muy grande de factores primos como 9999991 automáticamente en una situación de desventaja?

Por lo que hay un límite para el tamaño de la más grande factor principal de una gran número compuesto, o es ilimitado? Hay incluso una manera de saber?

Answer 1

Sí, cada primer se produce como un factor principal de una gran número compuesto. Supongamos hacia una contradicción que no; entonces vamos a $p_n$ ser la menos privilegiada que no se produce como un factor. Tenga en cuenta que esto significa un compuesto altamente número no puede contener ninguno de los números primos mayores de $p_n$, ya que el cambio de un primer para $p_n$ da un número más pequeño con el mismo número de divisores. Por lo tanto, esto quiere decir que todos los altamente compuesto números son de la forma $$2^{k_1} \cdot 3^{k_2} \cdots p_{n-1}^{k_{n-1}}.$$ Ya hay infinitamente muchos más compuestos de números, al menos uno de los valores de $k_i$ debe ser sin límites; por lo tanto, hay un primer $p_i$ y un compuesto altamente número tal que $p_n < p_i^{\lfloor k_i/3 \rfloor }$. Pero ahora se nota que la eliminación de $\lfloor k_i/3\rfloor$ copias de la prime $p_i$ a partir de este número disminuye el número total de divisores por menos de $1/3$, mientras que la adición de la prime $p_n$ duplica su número de divisores. Esto contradice la suposición de que esta era la factorización prima de un altamente número compuesto.

Por lo tanto, $p_n$ se produce en la descomposición en factores primos de un altamente número compuesto.

Edit: Ya que esta pregunta ha recibido tanta atención, me siento como que podría ser vale la pena explicar algunas de las de la intuición detrás de esta respuesta. Recordar, un elevado número compuesto es un número que tiene más divisores de cualquier número anterior. Ahora, si $$p_1^{k_1} \cdots p_n^{k_n}$$ es cualquier factorización prima de un número, ese número se han $$\begin{equation} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1 + k_1) \cdots (1 + k_n)\qquad\qquad\qquad\qquad(1) \end{equation}$$ divisores de: a saber, para cada prime $p_i$ un divisor puede incluir que el primer $0, 1, \ldots, k_i$ times, que da $1 + k_i$ opciones. Tenga en cuenta que los números primos en realidad no es un factor en esta; intercambio de todas las copias de un primer con un primo que todavía no se producen en el número de hojas de la $k_i$ y por lo tanto el número de divisores sin cambios.

Por supuesto, que los números primos se producen en el número no importa para el tamaño de la serie: superior prepara a dar un número mayor.

Por lo tanto, pensamos en la construcción altamente compuesto de números como una especie de problema de optimización: multiplicando por un nuevo primer factor, se "compra" de algunos de los nuevos divisores, en el "gasto" de lo que el número más grande.

En primer lugar, tenemos un bajo coste de los factores primos para que; multiplicando por 2, 3, 5 es mucho "más barato" que multiplicar por 9999991. Sin embargo, hay una ley de los rendimientos decrecientes. La primera vez que añada un primer factor, el doble del número de divisores: en la fórmula (1), un factor de $(1 + 0)$ es sustituido por uno de la forma $(1 + 1)$. La segunda vez que lo haces, un factor de $(1 + 1)$ es reemplazado por $(1 + 2)$, proporcionando sólo un multiplicador de $\frac32$ el número de divisores.

De modo que, más y más de lo mismo, el primer factor que agrega, menos las devoluciones que salir de esa. Si se mantiene el tiempo suficiente, el mayor de los números primos se vuelven más "lucrativa". Finalmente, se han agotado tanto de la utilidad de todos los números primos por debajo de 9999991, que resulta óptimo para agregar el principal factor de 9999991. La prueba sólo hace que este precisa. Con un poco más de inquietud, se puede demostrar que, de hecho, el número de todos, no sólo de cada primer, divide altamente número compuesto.

Answer 2

Dado un primer $p,$ siempre hay un altamente número compuesto que ha $p$ como un factor. De hecho, siempre hay un compuesto altamente número para que $p$ es el mayor factor primo. Hay una larga que Ramanujan llamado el Superior Altamente Compuesto de Números. Estos números son siempre muy compuesto. Dado un real $\delta > 0,$ construimos $$N_\delta = \prod_{i=1}^\infty p_i^{a_i},$$ donde sólo un número finito de los exponentes $a_i$ son cero, con el valor específico de la $$a_i = \left\lfloor \frac{1}{p_i^\delta - 1} \right\rfloor.$$ El más pequeño de SHC número que es divisible por los primos $9999991$ utiliza $$\delta = \frac{\log 2}{ \log 9999991} \approx 0.043004.$$ Yo calculo que el exponente del primer $2$ $33,$ exponente de la prime $3$ $20.$ Ir la Figura.

Vamos a ver, el número de $N_\delta$ es, a muy grandes rasgos, $e^{9999991} \approx 10^{4342941}$

Answer 3

Incluso podemos estimar el tamaño de la primera altamente número compuesto que incluye $9999991$ como un factor. Escribir $N=2^{k_1} \cdot 3^{k_2} \cdots p_{n-1}^{k_{n-1}}.$ donde $p_{n-1}$ es el primer justo antes de $9999991$. El número de factores de $N$$(k_1+1)(k_2+1)\ldots (k_{n-1}+1)$. Queremos comparar el número de factores de $9999991N$ con el número de factores se puede obtener multiplicando $N$ por una colección de más pequeño de los números primos que se multiplican alrededor de $9999991.$ Si se aumenta el $k_i$$1$, incluyendo potencialmente aumentando $k_n$$0$$1$, se multiplica el número de factores por $\frac {k_i+2}{k_i+1}$ o aumentar el registro del número de factores por $\log \frac {k_i+2}{k_i+1}$. Podemos aumentar el registro de $N$$\log p_i$, por lo que la ganancia en $\frac {\log \text { factors}}{\log N}$ $\frac {\log \frac {k_i+2}{k_i+1}}{\log p_i}\approx \frac {\frac 1{k_i+1}}{\log p_i}$ y suponemos que esto es aproximadamente constante a lo largo de todas las $k_i$ o $k_i=\frac c{\log p_i}$ Esto demuestra que $k_1$, el exponente en $2$ es de alrededor de $\frac {\log 9999991}{\log 2} \approx 23$ podemos evaluar los exponentes en todo el intervalo de los números primos de forma similar.