¿Cómo es Gosper ' aproximación s a factorial derivado?

Question

Discutiendo a Stirling aproximación, Wolfram Mathworld artículo menciona una modificación de la misma debido a Gosper: en lugar de la habitual

$$n!\approx n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi},$$

tenemos una pequeña adición de $\frac13$ $2n$bajo el signo radical:

$$n!\approx n^ne^{-n}\sqrt{\left(2n+\frac13\right)\pi}.$$

De este modo, mejora la precisión de la aproximación para todos los $n\ge0$. Pero todos los lugares que he visto discutiendo que no explica cómo se obtuvieron. Wolfram Mathworld dice acerca de Gosper de modificación de

...una mejor aproximación a n! (es decir, uno que se aproxima a los términos en Stirling de la serie en lugar de truncar ellos...)

pero es que no me entiendo cómo este cambio se deriva.

Así, la forma de obtener esta modificación? Y es que hay una mejora para el conjunto de Stirling de la serie, o es sólo "toda la serie de peluche en una expresión"?

Answer 1

Como se dice que el Wolfram artículo, Gosper la fórmula se aproxima a la de Stirling de la serie en lugar de truncar.

Para ver eso, vamos a echar un vistazo a la $\sqrt{2n+\frac{1}{3}}$ plazo que es en sí mismo una serie:

$$ \sqrt{2n+\frac{1}{3}} = \sqrt{2n} \cdot\sqrt{1+\frac{1}{6n}} = \sqrt{2n} \cdot \left( 1 + \frac{1}{12n} + O \left( \frac{1}{n^2}\right) \right) $$

Así que en la final se tiene:

$$ \frac{n!}{n^n e^{-n}\sqrt{2 n \pi}} = 1 + O \left( \frac{1}{n}\right) $$

Mientras que:

$$ \begin{align}\frac{n!}{n^n e^{-n}\sqrt{ \left( 2 n + \frac{1}{3} \right) \pi}} & = \frac{n!}{n^n e^{-n}\sqrt{2 n \pi}} \cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{6n}}} \\ & = \left( 1 + \frac{1}{12n} + O \left( \frac{1}{n^2}\right) \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{12n} + O \left( \frac{1}{n^2}\right) \right) \\ & = 1 + O \left( \frac{1}{n^2}\right) \end{align} $$

Que explica por qué esta aproximación es mucho mejor que la simple truncamiento.

Answer 2

La serie de Stirling es

$$n!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}\left(1+\frac1{12n}+\cdots\right).$$

Tomando solamente términos hasta e incluyendo $\frac1{12n}$, tenemos:

$$\sqrt{2n}\left(1+\frac1{12n}\right)=\sqrt{2\left(n+\frac16+\frac1{12^2n}\right)}=\sqrt{2n+\frac13+\frac1{72n}}.$$

Dejar de lado el término de $\frac1{72n}$ en el radical (ya que desaparece como $n\to\infty$), recuperamos el resultado por el radical por Gosper:

$$\sqrt{2n+\frac13}.$$

Answer 3

Una elemental prueba de aproximación de Gosper se puede encontrar aquí https://javeeh.net/StirlingsFormula