¿Al parecer a veces $1/2 < 1/4$?

Question

Mi hijo trajo a esta casa hoy de su 3er grado de la clase. Es a partir de un oficial del Condado de Montgomery, Maryland, evaluación de matemáticas de la prueba:

Verdadero o falso? $1/2$ es siempre mayor que $1/4$.

Respuesta oficial: false

Donde ha ido mal?

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Anexo, a riesgo de hacer el post ya no es apropiado para este foro:

Preguntas sobre el contexto de la feria. Esta parece haber sido la de una página (delantera y trasera) de evaluación. Aquí está la parte frontal, aviso de la fecha y el título:

Basado en el título, me parece que esta es una evaluación sobre el número de línea en la que el caso de mi hijo de imagen y pruebas escritas son inapropiadas y mejor habría sido para localizar $1/2$ $1/4$ en la línea y que diga algo como "No importa cuántas veces usted comprobar, 1/2 está siempre a la derecha de 1/4." Sin embargo, basado en la respuesta de la profesora parece que la clase ha entrado en un atolladero y es la mezcla de los números con las porciones.

Answer 1

Simplemente poner esto es una farsa. La pregunta es, lo que parece ser una simple pregunta acerca de dos números reales, $\frac{1}{2},\frac{1}{4} \in \mathbb{R}.$, En particular, parece preguntar si $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}.$ La respuesta a esta pregunta es claramente, en condiciones normales de construcción y ordenamiento de los reales, un rotundo SÍ.

¿Qué significa la pregunta a plantear es una pregunta acerca de las fracciones de potencialmente diferentes cantidades. En particular, de los profesores de dibujo, la pregunta que quería preguntar si $$\frac{1}{2}\cdot x>\frac{1}{4}\cdot y, \qquad \forall x,y \in \mathbb{R}.$$ La respuesta a esto es nuevo, muy obviamente no, pero esto no es lo que la pregunta...

Answer 2

Terrible, terrible, terrible pregunta. La intención de redacción debería haber sido a lo largo de estas líneas:

Es $1/2$ de algo siempre mayor que $1/4$ de otra cosa?

Su hijo razonablemente interpretarse que la cuestión se refiere a la ordenación de los números reales $1/2$$1/4$, como David que se menciona.

¿Qué hacer ahora? Bueno, ciertamente, llevar a la del educador atención. Ellos pueden no ser conscientes de la falla, o se puede haber visto y decidido a fudge (no fresco en ese caso!). Pero lo que es más importante, hay una lección para el salvamento de los restos de la aeronave. Este un momento de aprendizaje. Hubo un error grave en la pregunta. Pregúntele a su hijo por qué él piensa que es correcto, si él ve la intención de propósito, ¿cómo iba a corregir la redacción, cómo piensa que el error podría haber sido evitado, y lo que él siente por toda la debacle actual.

Es un buen punto de reconocer que la matemática no es sólo un conjunto de herramientas para manejar el cálculo y comprender la naturaleza, sino una forma de comunicación. El lenguaje es esencial.

Answer 3

Lo que falta en la pregunta es la noción de unidades o dimensiones: mayor ¿en qué? Una desigualdad como $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$ debe asumir una unidad equivalente en ambos lados. Hablando de el volumen de un líquido, un "podría" decir:

$$\frac{1}{4} \textrm{(of a liter)}<\frac{1}{2} \textrm{in dm}^3$$

porque un litro es un decímetro cúbico. Pero decir

$$\frac{1}{4} >\frac{1}{2} $$

cuando el LHS es en kilómetros y los RHS en micrómetros, sin mencionarla, es una vuelta de tuerca a las desigualdades: "deben ser" unidad independiente. O, al menos, equipado con un orden de relación que axiomatizes las expectativas. Usted puede también definir "mayor" como el más grande en el denominador de la reducción de fracciones. Pero esta sería una muy mundano "mayor" de la definición.

Lo que este puede enseñar es ser consciente de los errores lógicos en el mundo real, como un comerciante que ofrece un precio tan bueno que se pierde dinero en ella. Esto podría incitar a usted en un duelo en el modo de barómetro pregunta:

Un estudiante de física en la Universidad de Copenhague fue una vez enfrentado con el siguiente desafío: "se Describe cómo determinar la altura de un rascacielos utilizando un barómetro."

El estudiante respondió: "Ate un pedazo largo de cuerda el barómetro, baja desde el techo del rascacielos de la tierra. La longitud de la cadena más la longitud del barómetro será igual a la altura de el edificio".

una anécdota burlarse de los estereotipos sobre las respuestas a veces se requiere de los estudiantes.

Answer 4

Este es ridículamente mal redactada la pregunta.

Que hacer un punto. No están haciendo inteligible.

Aquí es lo que la pregunta podría haber sido (y, como Thomas Andrews señaló, que debería haber sido en un capítulo en unidades):

Joe objeto pesa 1/2.

Pete objeto pesa 1/4.

Por lo tanto, Joe, el objeto es más pesado que el de Pete, porque $\frac 1 2 \gt \frac 1 4$.

Lo que está mal con esta lógica?

O simplemente el uso de un diseño inteligente, libro que enseña este nivel básico de la lógica en una forma que es fácilmente absorbido por los niños.

Ejemplo de tipos de preguntas de los enlaces de libro:

• Mostrar un objeto (como un autobús) y dos unidades del mismo tipo (como en "pulgadas" y "pies") y pedir que la unidad tendría más sentido para la medición de ese objeto.

• Dar a un problema matemático que le da a uno innecesarios de medición. Pedir a los estudiantes a cruzar la información de una manera que no es necesario responder a la pregunta.

• Dar a un problema matemático. Pregunte a los estudiantes si se les da suficiente información para responder a la pregunta.

Answer 5

Posiblemente otra manera de refutar el contraejemplo dado, se reducen a una declaración en la que más claramente falsa. Supongamos $\frac{1}{2} < \frac{1}{4}$. A continuación, multiplique ambos lados por 4 para obtener $2 < 1$, que es más claramente falso.

Así que en este punto punto, el maestro tiene que decir que la multiplicación no conserva la desigualdad, o (menos probable) que el resultado de la declaración es falsa.

(Aunque no me sorprendería si intentan refutar modus ponens, o la ley del medio excluido, o etc)