Funciones monótonas y no evanescencia de la derivada

Question

El siguiente resultado es bien conocido:

Si $f$ es continua en $[a, b]$ diferenciable en $(a, b)$ y $f'$ es distinto de cero en $(a, b)$ entonces $f$ es estrictamente monótona en $[a, b]$ .

Sin embargo, si la derivada desaparece en un número finito de puntos en $(a, b)$ y aparte de estas derivadas mantiene un signo constante en $(a, b)$ entonces también la función es estrictamente monótona en $[a, b]$ (basta con dividir el intervalo en un número finito de intervalos utilizando estos puntos donde la derivada desaparece y $f$ es estrictamente monótona en la misma dirección en cada uno de estos intervalos).

Supongamos ahora que $f$ es estrictamente monótona y continua en $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ . ¿Qué podemos decir del conjunto de puntos $$A = \{x \mid x \in (a, b), f'(x) = 0\}$$ ¿Puede ser infinito? ¿Puede ser incontable? ¿Cómo de grande es el conjunto $A$ ¿puede ser?

Answer 1

Está claro que $A$ debe tener el interior vacío. Al menos para cerrado conjuntos que es una caracterización:

Teorema Si $A\subset[0,1]$ es compacta con el interior vacío, entonces existe una $f\in C^1([0,1])$ tal que $A$ es el conjunto cero de $f'$ .

Ejercicio Modificar la siguiente prueba para mostrar que incluso podemos obtener $f$ infinitamente diferenciable .

Prueba. Digamos que las componentes conectadas de $[0,1]\setminus A$ son $I_1,\dots$ . Cada $I_n$ es un intervalo relativamente abierto; existe $a_n$ , $b_n$ con $$I_n\cap(0,1)=(a_n,b_n).$$

Elija $f_n\in C^1(\Bbb R)$ para que $f_n(t)=0$ para todos $t\le a_n$ , $f(t)=1$ para todos $t\ge b_n$ y $f_n'(t)>0$ para todos $t\in(a_n,b_n)$ . Elija $c_n>0$ para que $$\sum_n c_n\sup_t(|f_n(t)|+|f_n'(t)|)<\infty,$$ y que $$f=\sum_n c_nf_n.$$ La hipótesis implica que $$f'=\sum_nc_nf_n',$$ así que $f$ es continuamente diferenciable y $$\{t\in[0,1]:f'(t)=0\}=A.$$ Y $f$ es estrictamente creciente: Digamos que $0\le x<y\le 1$ . Desde $A$ tiene el interior vacío existe $t\in(x,y)$ con $f'(t)>0$ . QED

Answer 2

En $[0,1]$ Considera que $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac x{1-x\sin\left(\frac1x\right)}=\frac{1-\cos\left(\frac1x\right)}{\left(1-x\sin\left(\frac1x\right)\right)^2} $$

Answer 3

Considere la función $f(x) = \int_x^1 (\sin(\frac{1}{t})+1) dt$ con $f(0)$ definido de manera que $f$ es continua en $0$ . Esta función es $C^1$ en $(0, 1)$ estrictamente decreciente y continua en $[0, 1]$ y tiene derivada cero para cada cero de $\sin(\frac{1}{t})+1$ de los cuales hay infinitos.

Además, consideremos un caso arbitrario estrictamente monótono $C^1$ función $g$ en $[0, 1]$ . El teorema de Sard nos dice que el conjunto de valores críticos de $g$ tiene medida cero. Y si no me equivoco, si tenemos continuidad de Lipschitz para $g^{-1}$ podemos concluir que el conjunto de puntos críticos también debe tener medida cero.

Sin embargo, no sé si hay un número incontable de puntos críticos.