Normas sobre un Ultraproduct

Question

Supongamos $X$ es un espacio de Banach y $\mathcal{U}$ es un no-director de ultrafilter en $\mathbb{N}$. Estoy interesado en el espacio de Banach $(X)_\mathcal{U}$, donde consideramos que las secuencias de $(x_i)_{i \in \mathbb{N}}$ norma $\|(x_i)\| = \lim_\mathcal{U} \|x_i\|$ (quotiented a cabo por el nulo secuencias.)

Mi pregunta está relacionada con cómo esta norma se comporta en ciertas secuencias. Mi principal idea es que el límite se comporta de (aproximadamente) como un Límite de Banach, y por lo tanto asigna una cierta noción de la media de la secuencia. Entonces yo creo que de $\|x\| = LIM(\|x_i\|)$ donde $LIM$ es un límite de Banach.

La primera parte de mi pregunta, ¿es esto cierto? Hacer ultraproducts de Banach y espacios de Banach Límites significan aproximadamente lo mismo? (Tengo un presentimiento de que esto es cierto, o puede ser precisos.)

Si esto es cierto, entonces puedo decir lo siguiente. Si tengo una secuencia en la ultrapower dado por $x = (x_1,\dots,x_m, x_1,\dots, x_m, x_1,\dots)$, entonces la norma de un elemento es $\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \|x_i\|$. De hecho, se aplican cambio de invariancia $m$ tiempos, agregar los resultados, y aplicar el cambio de la invariancia de nuevo. Así que, creo que de $\|x\| = \lim_n \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \|x_i\|$

Así que mi pregunta es la siguiente: supongamos $Y = \{(x_i) :$ de las secuencias para que $ \lim_n \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \|x_i\| $ converge $\}$. Qué$\|x\|_{\mathcal{U}} = \lim_n \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \|x_i\|$$Y$?

Tengo la sensación de que esto es correcto o tan completamente equivocada de que mi comprensión de ultrapowers es unrescuable.

Answer 1

Así que mi pregunta es la siguiente: supongamos $Y = \{(x_i) :$ de las secuencias para que $ \lim_n \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \|x_i\| $ converge $\}$. Qué$\|x\|_{\mathcal{U}} = \lim_n \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \|x_i\|$$Y$?

De hecho, esta es una pregunta acerca de la real secuencias. Usted está preguntando si $$\newcommand{\limti}[1]{\lim\limits_{#1\to\infty}}\limti n \frac{x_1+\dots+x_n}n=L$$ implies $$\newcommand{\Ulim}{\operatorname{{\mathcal U}-lim}}\Ulim x_n = L.$$

Lo anterior no es cierto. Como un simple contraejemplo tome $x_n=(0,1,0,1,0,1,\dots)$. Es fácil ver que $$\limti n \frac{x_1+\dots+x_n}n=\frac12.$$ Pero los únicos valores posibles de $\Ulim x_n$$0$$1$. (Esto se puede ver en el hecho de que todos los $\mathcal U$-límite es de un clúster punto de la secuencia dada.)

Específicamente, si usted elige un ultrafilter tal que $2\mathbb N\in\mathcal U$,$\Ulim x_n=1$, y si usted elige un ultrafilter tal que $2\mathbb N\in\mathcal U$,$\Ulim x_n=0$.

El ejemplo anterior también muestra que $\mathcal U$-no hay límite de cambio-invariante. (Mientras límite de Banach es cambio-invariante. De hecho, el ejemplo anterior se vuelve $\frac12$ por cada límite de Banach.) Esto significa que $\mathcal U$-límite y el límite de Banach no son la misma cosa.

Sin embargo, $\mathcal U$-límite tiene algunas propiedades que de Banach límite no tiene. Por ejemplo, usted tiene $\Ulim (x_ny_n) = \Ulim x_n \cdot \Ulim y_n$. Esto no es cierto para el límite de Banach.