La trayectoria de las partículas de masa en una esfera

Question

Así que estoy tratando de simular el movimiento de las partículas de masa en la superficie exterior de la esfera usando coordenadas cartesianas. Concluyamos con un movimiento sin gravedad ni fricción.

Esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ la partícula de masa $m$ comienza en algún lugar cerca de la cima. La fuerza gravitacional sería sólo $ \textbf {g} = -g \textbf {e}_z$ . Fuerza normal total $ \textbf {N}$ dependería de nuestra posición, y, usando el ángulo de incineración $ \theta $ a partir de coordenadas esféricas, puede escribirse como $$ \textbf {N} \cos { \theta } = mg \cos { \theta } \frac { \textbf N}{|N|}.$$ Los componentes de ese vector en coordenadas cartesianas: $$N_x = mg \cos { \theta } R \sin { \theta } \cos { \varphi },$$ $$N_y = mg \cos { \theta } R \sin { \theta } \sin { \varphi },$$ $$N_z = mg \cos { \theta } R \cos { \theta },$$ donde $$ \theta = \arctan { \frac { \sqrt {x^2+y^2}}{z}}, \ \ \varphi = \arctan { \frac {y}{x}}, \ \ R = const.$$ Así que, las ecuaciones de movimiento se verán como: $$ \ddot {x} = gR \cos { \theta } \sin { \theta } \cos { \varphi },$$ $$ \ddot {y} = gR \cos { \theta } \sin { \theta } \sin { \varphi },$$ $$ \ddot {z} = gR \cos { \theta } \sin { \theta } \cos { \varphi } - g.$$ Resolviendo esto, comenzando cerca de la cima en un radio de una esfera 1, estoy obteniendo una trayectoria equivocada (verde en una imagen, gris - superficie redondeada). Entonces, ¿tal vez algo está mal con las ecuaciones?

Answer 1

Sí, tus ecuaciones no son del todo correctas. El principal problema es que estás asumiendo una cierta forma para la fuerza normal que no es correcta. Lo que viene a continuación debería aclarar por qué es así con cierto detalle.

Cuando se utilizan las fuerzas y las leyes de Newton para resolver este problema, resulta abrumadoramente útil trabajar en coordenadas esféricas, no sólo para localizar la posición de la masa, sino también para escribir las componentes vectoriales. En particular, es ventajoso expresar todos los vectores en vectores unitarios de coordenadas esféricas.

Sobre la masa actúan dos fuerzas: la normal, que apunta en dirección radial, y la gravitatoria, que apunta en sentido negativo. $z$ y esto da la siguiente fuerza neta sobre la partícula \begin{align} \mathbf F = N\hat{\mathbf r} -mg\,\hat{\mathbf z}. \end{align} Nos gustaría seguir nuestro consejo anterior, y escribir esto en términos de vectores unitarios de coordenadas esféricas $\hat{\mathbf r}, \hat{\boldsymbol \theta}, \hat{\boldsymbol\phi}$ . Si usted mira en la parte posterior de la Electrodinámica de Griffiths, o mejor aún, lo resuelve por sí mismo, encontrará que $\hat{\mathbf z} = \cos\theta\hat{\mathbf r} - \sin\theta\hat{\boldsymbol\theta}$ por lo que podemos escribir la fuerza neta totalmente en términos de coordenadas esféricas y vectores unitarios de la siguiente manera: \begin{align} \mathbf F = (N-mg\cos\theta)\hat{\mathbf r} + mg\sin\theta\hat{\boldsymbol\theta}. \end{align} Obsérvese que aún no sabemos qué $N$ , la fuerza normal, es. La fuerza normal es complicada en este problema porque dependerá de la velocidad de la masa, una característica que puedes ver inmediatamente que falta en tu trabajo original.

Ahora, para escribir las leyes de Newton, necesitamos la aceleración en coordenadas esféricas, que es un lío tremendo en general. Pero fíjate que como la masa está constreñida a la superficie de la esfera, y como no hay fuerzas en la dirección tangencial, siempre que la masa comience en la parte superior de la esfera, tendremos \begin{align} \dot r = 0, \qquad \dot \phi = 0. \end{align} La primera de estas ecuaciones es una restricción que imponemos en virtud de la permanencia de la partícula en la esfera en todo momento ( $r(t) = R$ ), el segundo se puede argumentar de forma puramente matemática a partir de las leyes de Newton, pero debería quedar claro a partir del argumento físico anterior, por lo que omitimos ese paso. El resultado es una simplificación drástica de la expresión de la aceleración en coordenadas esféricas: \begin{align} \mathbf a = -R\dot\theta^2\hat{\mathbf r} +R\ddot\theta \hat{\boldsymbol\theta}. \end{align} Estos términos deberían resultarle bastante familiares. El primero es simplemente la aceleración centrípeta, y el segundo es la aceleración tangencial en el $\theta$ dirección. Compárelas con las expresiones estándar $a_r = -R\omega^2$ y $a_\theta = R\alpha$ . Si ahora utilizamos la Segunda Ley de Newton, entonces encontramos \begin{align} N - mg\cos\theta = -mR\dot\theta^2, \qquad g\sin\theta = R\ddot\theta. \end{align} Se trata de un sistema de dos EDO en dos funciones desconocidas $N=N(t)$ y $\theta = \theta(t)$ pero la segunda es una EDO completamente para $\theta$ . Una vez que hayas resuelto esto para encontrar el movimiento de la masa, puedes volver a introducir la solución en la primera ecuación para determinar la fuerza normal en función del tiempo si lo deseas.

Obsérvese que esto es coherente con el enfoque lagrangiano del usuario yohBS. Basta con introducir $\dot\phi = 0$ en su $\theta$ Ecuación de Euler-Lagrange y observe que coincide con la ecuación anterior.

Answer 2

Un método más sencillo sería utilizar coordenadas esféricas. Para aclarar la notación, defino:

$$\begin{align} z&=R \cos \theta (t)\\ y&=R \sin \theta (t) \sin \phi(t)\\ x&=R \sin \theta (t) \cos \phi(t) \end{align}$$

La energía cinética es entonces $$T=\frac{m}{2}\left(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2\right) =\frac{mR^2}{2}\left(\dot \theta^2+\dot\phi^2\sin^2\theta\right)$$ mientras que la energía potencial es $$U=mgz=mgR\cos\theta$$ Las ecuaciones del movimiento pueden calcularse a partir de la energía puede calcularse utilizando la Formalismo lagrangiano . El lagrangiano es $$L=T-U=\frac{mR^2}{2}\left(\dot \theta^2+\dot\phi^2\sin^2\theta\right)-mgR\cos\theta$$ La ecuación para $\theta$ : $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\right)= mR^2\ddot\theta=mgR\sin\theta+mR^2\dot\phi^2\cos\theta\sin\theta=\frac{dL}{d\theta}$$

$$\ddot \theta=\sin \theta \left(\frac{g}{R}+ \dot\phi^2 \cos \theta \right)$$

Del mismo modo, la ecuación para $\phi$ :

$$\ddot\phi=-2\dot\theta\dot\phi\cot\theta$$

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Adenda: Estoy de acuerdo con el comentario de que esto no responde directamente a su pregunta. El error que has cometido es escribir la expresión incorrecta para la fuerza normal. La expresión que has escrito sólo es válida en el caso estático, es decir, sólo cuando la aceleración desaparece (en todas las direcciones). Para obtener la expresión correcta para $N$ debes dibujar un diagrama de fuerzas y tener en cuenta la aceleración centrípeta en dos direcciones. Esto es un lío, y una forma más sencilla de hacerlo es utilizar el método que he descrito anteriormente.