Comparando $\pi^{e}$ $e^{\pi}$

Question

¿Cómo puedo calcular sin calculadora o algo como esto

los valores de $\pi^{e}$ $e^{\pi}$

con el fin de compararlos ?

Answer 1

Otra prueba utiliza el hecho de que $\displaystyle \pi \ne e$ y $e^x > 1 + x$$x \ne 0$.

Tenemos $$e^{\pi/e -1} > \pi/e,$$

y así

$$e^{\pi/e} > \pi.$$

Por lo tanto,

$$e^{\pi} > \pi^e.$$

Nota: Esta prueba no es específica para $\pi$.

Answer 2

Este es un viejo castaño. Como una sugerencia, es más fácil pensar en el más problema general: para que positivo $x$$e^x>x^e$?

Answer 3

De Pruebas sin Palabras.

Answer 4

Vamos $f (x) =$ $x^\frac1x$ Encuentra el valor de $x$ de manera tal que la función obtiene el máximo valor Para que esto funciones para $x=e$ función de obtener el máximo valor por lo $e^\frac1e$ es mayor que $\pi^\frac1\pi$ por lo $e^\pi$ es mayor que $\pi ^e$.