¿Producto del tensor es plana como Hom?

Question

¿Lo siento si me estoy perdiendo algo aquí, pero lo que llamamos $M$ si el functor $H_M:N\mapsto Hom(M,N)$ es exacto? ¿De hecho es equivalente a ser plana a través de algunas propiedades del adjointness?

Answer 1

También podría ser útil saber que proyectiva es equivalente a ser un sumando de un módulo libre (aplica $Hom(M,\text{--})$ a una presentación de $M$), y por lo tanto projectives son planas. El inverso no es verdad en general (por ejemplo $\mathbb Q$ es plana como un módulo de % de $\mathbb Z$, pero no proyectivas), pero para módulos finitamente presentados encima anillos comutativos, plana y proyectivas son equivalentes.

Answer 2

Estoy seguro de que $M$ se llama proyectivo en este caso, y si $N \rightarrow Hom(N,M)$ es exacta entonces $M$ se llama inyectiva. Quizás lo tengo hacia atrás, sin embargo.

Answer 3

Llamamos a dichos módulos proyectivos. Si usted toma $N\mapsto Hom(N,M)$ obtener módulos inyectivo. Esto es bastante básico y cubierto en cualquier libro de álgebra homológica y mencionado en la wikipedia.