¿Cuando hay una solución única para ser equidistante a los puntos $N$ en geometría taxicab?

Question

Ponemos tres que no se superponen, no colineales puntos arbitrariamente un gran cuadrícula gráfico (no preocuparse por los infinitos). Llamar a estos puntos de $(p_1,p_2,p_3)$. Suponiendo que las empresas de taxi de la geometría, es posible la existencia de dos o más puntos en la red, $(p_a,p_b)$, que tienen el mismo conjunto ordenado de distancias a $(p_1,p_2,p_3)$? ¿Esto es cierto para la $d$-dimensiones de la cuadrícula de gráfico si pedimos un conjunto ordenado de distancias a $d+1$ que no se superponen y los puntos no colineales (trivialmente cierto para $d = 1$)?

Por favor, observe que para especificar las distancias de cada punto debe ser un conjunto ordenado. En otras palabras, si el conjunto de distancias a$(p_1,p_2,p_3)$$(d_1, d_2, d_3)$, este conjunto de distancias es distinta de, por ejemplo, $(d_2, d_1, d_3)$.

En respuesta a coffeemath la respuesta: El ejemplo que usted da (escalado por un factor de 20), los rendimientos de la $(p_1,p_2,p_3) = ((0,0),(-20,20),(10,10))$$(p_a,p_b) = ((-5,15),(-4,16))$. En taxi de la geometría, por lo tanto tenemos a $(d_1, d_2, d_3) = (20,20,20)$ por tanto $p_a$$p_b$. Sin embargo, en la geometría Euclidiana, tenemos que $(d_1, d_2, d_3) = (5*10^{\frac{1}{2}},5*10^{\frac{1}{2}},5*10^{\frac{1}{2}})$$p_a$$(d_1, d_2, d_3) = (4*17^{\frac{1}{2}},4*17^{\frac{1}{2}},2*58^{\frac{1}{2}})$$p_b$. Así que la respuesta a mi pregunta es "no", una instancia en particular del conjunto ordenado $(d_2, d_1, d_3)$ pueden existir múltiples celosía puntos.

Seguimiento de la pregunta (aunque mi cuenta detalles están siendo solucionado) - ¿hay alguna simple de restricciones que iba a hacer mi declaración de la verdad? Lo que si tenemos $d+2$ puntos por $d$-dimensiones de la cuadrícula gráfico y preguntar acerca de la singularidad de un conjunto ordenado de estos puntos? Lo que si consideramos una red hexagonal de la versión de taxi de la geometría?

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Nota para CoffeeMath: Todavía no he sido capaz de fusionar mi cuenta con este, pero a responder:

"...tal vez el requisito de que los n+1 puntos a los que no se encuentran en cualquier hyperplane (en la analogía de 2-espacio, que no requieren tres en una línea (hyperplane en dos el espacio)? Para highjer dimensiones pienso que "no hay tres en una línea" podría ser demasiado fácil".

A la derecha, yo creo que esta es una muy extensión natural de los "no alineados" restricción yo impuestas en 2D. En general, queremos romper cualquier "trivial" ejes de simetría. En el continuum límite, podríamos llamar a este aleatoriamente la perturbación de los vértices de la cuadrícula gráfico en $R^d$. También, como una nota rápida, nunca tuve la intención de que otras dimensiones de alguna manera limitar inferior-dimensiones incrustaciones de gráficos.

Answer 1

2-d ejemplo: $p_1=(0,0),\ p_2=(-1,1),\ p_3=(1/2,1/2).$ Nota: estos son no colineales y distinta ("no se solapan").

Ahora vamos a $p_a=(-1/4,3/4),\ p_b=(-1/5,4/5).$

A continuación, para cada una de las $p_a,p_b$ la secuencia de taxi distancias a $p_1,p_2,p_3$ $(1,1,1).$

Si solo buscan coordenadas enteras (como algunos significa "celosía"), en este ejemplo se puede escalar en la multiplicación de todas las coordenadas por $20$.

Un ejemplo en $\mathbb{R}^n$

Definir los siguientes tres conjuntos, donde todas las sumatorias son de$1$$n$.

$A:\ \sum x_i=1,\ [0 \le x_i \le 2n]$

$M:\ \sum x_i=3n^2,\ [2n \le x_i \le 4n]$

$B:\ \sum x_i=6n^2-1,\ [4n \le x_i \le 6n].$

Tenga en cuenta que no hay habitación en cualquier de estos conjuntos de infinitos puntos, por ejemplo, para $M$ hemos de $2n \le x_i \le 4n$ en la suma de $1$ $n$que $2n^2 \le \sum x_i \le 4n^2$, dando un montón de "espacio de maniobra" para seleccionar las sumas con total $3n^2$.

Ahora debemos seleccionar un conjunto específico de $n+1$$p_k$. Para $1 \le k \le n$ dejamos $p_k$ ser el vector unitario a lo largo de la $k$th eje, es decir, $p_k$ $1$ $k$th coordinar, otros $0$. Tenga en cuenta que sólo hay una hyperplane simultáneamente contiene todos los $p_k$$1 \le k \le n$. (Esto es $\sum x_i=1$.) Para $p_{n+1}$ seleccionamos el punto cuyas coordenadas son las $6n-1/n$, por lo que, de hecho, $p_n$ se encuentra en el conjunto de $B$ a su "centro", por así decirlo.

Ahora es fácil comprobar la siguiente declaración, donde $d$ denota el taxi de distancia: $$d(A,M)=d(M,B)=3n^2-1.$$ Aquí el uso de las letras mayúsculas significa que podemos tomar cualquiera de los puntos de $a,m,b$ en los conjuntos correspondientes y tener la igualdad de taxi distancias.

Finalmente consideremos el conjunto $p_1,p_2,...,p_{n+1}$ de los valores de $p$. ciertamente son todas distintas por medio de la construcción, y pretendemos también que no se encuentran en cualquier hyperplane. Esto es porque el primer $n$ de estos puntos se encuentran como un todo único en el hyperplane $\sum x_i=1$, y, sin embargo, el punto final $p_{n+1}$ no se encuentran en él.

Y el "nonuniqueness" de la orden de las secuencias de las distancias es porque cualquiera de los dos (de la infinidad de puntos en $M$ tiene todos sus taxis distancias a las $n+1$ $p_k$ igual a $3n^2-1.$