Si $\{x_n\}$ es una secuencia de Cauchy en un espacio vectorial normado, es $\frac{x_n}{\|x_n\|}$ ¿Cauchy?

Question

Dejemos que $\{x_n\}$ una secuencia de Cauchy en un espacio vectorial normado $X$ . Es $$y_n = \frac{x_n}{\|x_n\|}$$ otra secuencia de Cauchy en $D = \{x\in X : \|x\| = 1\}$ ?

Nota: : La idea es demostrar que si $D$ está completo, entonces $X$ también está completo. Muchas gracias.

Answer 1

Considera: $$ x_n = \frac{(-1)^n}{n} $$

Entonces: $$ y_n = (-1)^n $$

$x_n$ es Cauchy en $\Bbb R$ ya que converge a $0$ . Sin embargo, $y_n$ sigue alternando entre $1$ y $-1$ y no es Cauchy en $\{-1, 1\}$ .

Answer 2

Dejemos que $f(x)=\frac{x}{\|x\|}$ . Dejemos que $r >0$ entonces $f$ es uniformemente continua en $B(0,r)^c$ . Para ver esto, supongamos $\|x-y\| < \delta$ . Entonces $|\|x\|-\|y\|| \leq \|x-y\| < \delta$ también, y lo hemos hecho: \begin {eqnarray} ||f(x)-f(y)|&=& \left\Vert \frac {x}{\|x\|} - \frac {y}{\|x\|} + \frac {y}{\|x\|} - \frac {y} {y||||} \right\Vert \\ & \le & \frac \left | \frac {1}{\|x\|} - \frac {1}{\|y\|} \right | \|y \| \\ &=& \frac \frac \\ & \le & 2 \frac { \delta }{r} \end {eqnarray}

Obsérvese que las funciones uniformemente continuas mapean secuencias de Cauchy en secuencias de Cauchy. Además, si $x_n$ es Cauchy, entonces $\lim_n \|x_n\|$ converge, ya que $\mathbb{R}$ está completo. (Además, tenga en cuenta que $\|x_n\|$ está acotado).

Supongamos ahora que $x_n$ es Cauchy. Si $l=\liminf_n \|x_n\| >0$ , entonces para $n$ suficientemente grande, $x_n \in B(0,\frac{l}{2} )^c$ y luego $f(x_n)$ es Cauchy, por lo tanto $f(x_n) \to \hat{f}$ para algunos $\hat{f} \in D$ y $n = \lim_n \|x_n\|$ existe. Entonces tenemos \begin {eqnarray} |x_n - n \hat {f}\| &=& \left\Vert |x_n|| f(x_n) - n \hat {f} \right\Vert \\ &=& \left\Vert |x_n|| f(x_n) -n f(x_n) + n f(x_n)- n \hat {f} \right\Vert \\ & \le & \left ||x_n\\|-n \right | + n ||f(x_n)- \hat {f}\| \end {eqnarray} y se deduce que $\lim_n x_n = n \hat{f}$ .

Si $l=0$ , escoge algún elemento $d \in D$ , dejemos que $B$ sea un límite superior para $\|x_n\|$ y que $x_n'=x_n+(B+1)d$ . Entonces $\|x_n'\| \ge 1$ y $x_n'$ también es Cauchy. Por el resultado anterior, $x_n' \to \hat{y}$ para algunos $\hat{y}$ . Por lo tanto, $\lim_n x_n = \hat{y}-(B+1)d$ .

De ello se desprende que $X$ está completo.

Answer 3

No veo clara la solución en absoluto. Por eso estoy tratando de utilizar el hecho (pista de mi profesor) de que si una secuencia de Cauchy tiene una subsecuencia convergente, entonces la secuencia completa de Cauchy converge.

Así, en el caso de $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\|x_n\| \neq 0$ Consideré una subsecuencia $\{x_{n_k}\}$ que mantienen $x_{n_k}\neq 0, \forall k\in\mathbb{N}$ y luego la nueva secuencia $$y_k = \frac{x_{n_k}}{\|x_{n_k}\|}$$ está bien definido.

Más tarde, $\{x_{n_k}\}$ es también una secuencia de Cauchy y $y_k \neq 0$ para todos $k\in\mathbb{N}$ . Así que, el siguiente paso, es demostrar que $y_k$ es Cauchy en $D$ y para el hecho, necesito probar que existe de un $M > 0$ que $M \leq x_{n_k}$ para todos $k\in\mathbb{N}$ . Pero no sé cómo puedo justificar la existencia de $M$ . Por favor, ayúdenme. Gracias