Importancia del teorema de Artin-Wedderburn

Question

Me siento tonto preguntar esto, pero ¿cuál es la importancia de la Artin-teorema de Wedderburn en Álgebra?

En Un Primer Curso en no conmutativa Anillos, T. Y. Lam llama "la piedra angular de la no-conmutativa anillo de la teoría", y sigue una lista de algunos muy notables propiedades de los módulos a través de semisimple anillos, algunos de los cuales enumero a continuación :

• todos los módulos son proyectivos y inyectiva,
• el anillo en sí es isomorfo a un producto de la matriz de anillos sobre la división de los anillos, y ambos de la división de los anillos y el tamaño de estas matrices están bien definidos (esto es, por supuesto, la Artin-teorema de Wedderburn),
• grupo de anillos son semisimple (a excepción de algunos casos especiales).

Como alguien que sabe poco o nada acerca de álgebra, incluso entiendo que estos son estupendas propiedades para tener. Sin embargo, cuando semisimple anillos nunca se producen? ¿Sólo se producen en el grupo de los anillos (no es que esto no es muy importante)? También, es posible conocer la división de los anillos de $D_i$ que aparecen en el teorema (aparte de su caracterización como el endomporhism anillos de la simple submódulos de $R$) y los tamaños de las $n_i$ de las matrices, dicen que si

$$ R\simeq\prod_{i=1}^r\mathrm{Mat}_{n_i}(D_i)~? $$

Answer 1

Deje $R$ ser un anillo arbitrario. El cociente $R/J(R)$ donde $J(R)$ es el Jacobson radical, es la parte de la $R$ que actúa trivial en el simple módulos de $R$; dicho de otra manera, es el universal semiprimitive cociente de $R$. Si $R$ es Artinian, a continuación, $R/J(R)$ es Artinian semiprimitive, que resulta ser equivalente a semisimple, entonces podemos aplicar Artin-Wedderburn a $R/J(R)$ y aprender algo importante acerca de nuestra original anillo de $R$ (es decir, todo lo que podemos aprender a partir de la observación simple de los módulos).