Comprensión de un ejemplo de "para todos" y "para algunos" uso en los Estados.

Question

Estoy leyendo "Análisis del yo" por el Tao y la revisión de un apéndice de este capítulo en la lógica. En él da un ejemplo en la forma "para todo x", que suele ser mucho más fuertes de lo que acaba de decir "para algún x":

1. "$6<2x<4$ todos los $3<x<2$" es vacuously cierto, pero
2. "$6<2x<4$ algunos $3<x<2$" es falsa.

Puedo ver cómo la primera instrucción es vacuously verdadero: la hipótesis "para todos los $3<x<2$" es falsa ya que no hay $x$ que satisfaga a ambos $3<x$$x<2$, lo que significa que la afirmación es verdadera por defecto.

Pero no veo cómo la segunda declaración de obras. Supongo que decir que la declaración de la 2 es falsa, uno tiene que demostrar que la implicación ("$6<2x<4$") es falsa cuando la hipótesis ("para algunos $3<x<2$") es verdadera. Pero hay un $x$ que "$3<x<2$" es cierto? Yo obviamente estoy perdiendo algo aquí para aclarar esta sería apreciada.

Answer 1

Una hipótesis de la forma "Para algunos ..." automáticamente asume que no es tal .... En símbolos, "$Q$ es cierto para algunos $x$ tal que $P$""$\exists x[P(x)\wedge Q(x)]$." Esto está en contraste con "$Q$ es cierto para todos los $x$ tal que $P$", que se formaliza como "$\forall x[P(x)\implies Q(x)]$." No hay realmente una gran frase corta para "$\exists x[P(x)\implies Q(x)]$." En términos generales, a cualquier momento en que una oración comienza con una declaración existencial ("para algunos . . ."), no puede ser vacuously verdadero. "Algunos elefante rosa conquistado Canadá" sólo puede ser verdad si hay algún elefante rosa en el primer lugar, después de todo.

Así que en la segunda declaración significa

Hay un $x$ tal que $3<x<2$$6<2x<4$,

lo cual es falso, ya que en particular no es $x$ tal que $3<x<2$.

Por el camino, tenga en cuenta que este es un caso donde el formalismo puede no coincidir con el lenguaje natural (para mí no, pero esto es en última instancia una cuestión subjetiva). Pero que es lo que significa, de una manera formal.