Dejemos que $X \subseteq \mathbb R$ et $X$ tiene la misma cardinalidad que $\mathbb R$ ¿existe siempre una suryección continua desde $\mathbb R$ en $X$ ? ( Sé que no es necesario que haya siempre una suryección continua desde $X$ en $\mathbb R$ por ejemplo, cuando $X$ es un intervalo cerrado y acotado )
Respuestas
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No. Por ejemplo, tome $X = \mathbb R \setminus \mathbb Q$ Los irracionales. Entonces $X$ es incontable y totalmente desconectado, es decir, sus componentes conectados son puntos únicos. Dado que $\mathbb R$ es conectado, cualquier mapa continuo $f: \mathbb R \to X$ envía $\mathbb R$ en un componente conectado de $X$ . Así, $f(\mathbb R)$ es un único punto, por lo que $f$ no puede ser sobreyectiva.
De hecho, esto funciona para cualquier subconjunto desconectado de $\mathbb R$ que es incontable. Sólo hay que tomar $X = \mathbb R \setminus \{0\}$ por ejemplo.
DanV
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Ni de lejos. Hay $2^{\aleph_0}$ funciones continuas de $\Bbb R$ a sí mismo, por lo que sólo hay $2^{\aleph_0}$ imágenes continuas de $\Bbb R$ .
Sin embargo, hay $2^{2^{\aleph_0}}$ subconjuntos de $\Bbb R$ que tienen la misma cardinalidad que $\Bbb R$ mismo. Por lo tanto, sólo con el argumento de la cardinalidad vemos que la mayoría de los conjuntos no se pueden obtener de esa manera.
De hecho, el argumento fácil que da Alex G. en la otra respuesta es que una imagen continua de $\Bbb R$ debe ser conectado, por lo que cualquier subconjunto desconectado no puede obtenerse así. Pero, ¿y si sustituimos $\Bbb R$ por un conjunto de Borel en su lugar? Hay conjuntos de Borel totalmente desconectados, como los irracionales o los conjuntos de Cantor.
Entonces el argumento de la cardinalidad muestra que incluso en ese caso, la mayoría de los conjuntos no se obtienen por una imagen continua de un conjunto de Borel.
