Convergente o divergente $\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1\cdot 3\cdot 5...(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6...(2n+2)}}$

Question

\begin {align} & \sum\limits_ {n=0}^{ \infty }{ \frac {1 \cdot 3 \cdot 5...(2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6...(2n+2)}} \\ & \text {ordenando} \\ & a_{n}= \frac {1 \cdot 3 \cdot 5...(2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6...(2n+2)}= \frac {1 \cdot 3 \cdot 5...(2n-3)(2n-1) \cdot 1}{2 \cdot 4 \cdot 6...(2n-2)(2n)(2n+2)}= \\ & \underbrace { \left ( 1- \frac {1}{2} \right ) \left ( 1- \frac {1}{4} \right )... \left ( 1- \frac {1}{2n} \right )}_{n \text {veces}} \frac {1}{(2n+2)} \\ & \text {claramente} \\ & \left ( 1- \frac {1}{2} \right )^{n} \frac {1}{(2n+2)} \le a_{n} \le \left ( 1- \frac {1}{2n} \right )^{n} \frac {1}{(2n+2)} \\ & \text {Prueba de la raíz} \\ & \sqrt [n]{ \left ( 1- \frac {1}{2} \right )^{n}} \frac {1}{ \sqrt [n]{(2n+2)}} \le \sqrt [n]{a_{n}} \le \sqrt [n]{ \left ( 1- \frac {1}{2n} \right )^{n}} \frac {1}{ \sqrt [n]{(2n+2)}} \\ & n \to \infty \\ & \frac {1}{2} \le \underset {n \to \infty }{ \mathop { \lim }}\, \sqrt [n]{a_{n}} \le 1 \\ & \text {nada :(} \\ & \text {Prueba de relación} \\ & \frac {a_{n}}{a_{n-1}}= \frac {1 \cdot 3 \cdot 5...(2n-3)(2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6...(2n)(2n+2)} \centerdot \frac {2 \cdot 4 \cdot 6...(2(n-1)+2)}{1 \cdot 3 \cdot 5...(2(n-1)-1)}= \frac {2n-1}{2n+2} \\ & \underset {n \to \infty }{ \mathop { \lim }}\, \frac {a_{n}}{a_{n-1}}=1 \\ & \text {nada de nuevo} \\ \end {align}

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Un cálculo explícito es aún mejor. Lo tenemos: $$\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!}=\frac{1}{(2n+2)\,4^n}\binom{2n}{n}=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}-\frac{1}{4^{n+1}}\binom{2n+2}{n+1}$$ de ahí que su serie sea telescópica y tengamos: $$\sum_{n=1}^{N}\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4^{N+1}}\binom{2N+2}{N+1}=\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right).$$

Para demostrar la última asíntota, observe que: $$\frac{1}{4^n}\binom{2N}{N}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos(x)^{2N}dx\leq\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}e^{-Nx^2}\,dx\leq\frac{1}{\sqrt{\pi N}}.$$

Answer 2

Puede escribir $$ \begin{align} \frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdots(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots(2n+2)} &=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5\cdot6\cdots(2n-1)\cdot 2n}{(2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n))^2(2n+2)}\\ &=\frac{(2n)!}{(2^{n} \cdot 1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdots n)^2 \cdot (2n+2)}\\ & =\frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2 \cdot (2n+2)}\\ & \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}\cdot (2n+2)}\\ & \sim \frac{1}{2\sqrt{\pi}\cdot n^{\Large\frac 32}}, \quad \text{for} \, n \, \text{great} \end{align} $$ donde hemos utilizado La aproximación de Stirling , entonces se concluye fácilmente a la convergencia de la serie.