¿El vacío se ha fijado a una relación?

Question

¿Es que el conjunto vacío es una relación?

En el libro de Enderton Introducción matemática a la lógica, una relación se define como un conjunto de pares ordenados. Si el conjunto vacío es una relación, ¿por qué es? En el texto, hay un ejemplo de una función $\varnothing \to A$. Esta función es por supuesto se encuentra el vacío, por lo que parece que el conjunto vacío es una relación. Pero no veo la razón para esto.

Answer 1

Todos los elementos del conjunto vacío se ordenan los pares. Para contradecir esta afirmación usted tendrá que proporcionar un elemento que es un contraejemplo, un elemento del conjunto vacío que no es un par ordenado.

Puesto que existe ningún tal elemento, se desprende que todos los elementos del conjunto vacío se ordenaron pares. Por lo tanto el conjunto vacío es una relación.

Answer 2

Sí. Todos los elementos del conjunto vacío es un par ordenado (vacuously), por lo que el conjunto vacío es un conjunto de pares ordenados.

Answer 3

Es probablemente la mejor manera de decir que una relación es un orden de triple $(A, B, R)$ donde $R \subset A \times B$, por lo que los dos conjuntos en los que la relación "opera" son explícitas. Con dicho convenio, se puede decir que para cualquiera de los dos conjuntos de $A$$B$, el triple $$ (A, B, \emptyset) $$ es una relación en $A$$B$.

La desventaja de utilizar un ordenado triple es que luego tienes que ser cuidadoso acerca de las definiciones posteriores, donde es posible que sólo quieren la "regla" ( $R$ ) de la relación...pero eso no es un gran problema.

Answer 4

Considerar la relación binaria $R\subset A\times B$

Entonces $R=\emptyset \iff \forall x\in A: \forall y\in B: \neg x R y$

Asimismo, $R=A\times B \iff \forall x\in A: \forall y\in B: x R y$

Esta obras incluso si $A\times B=\emptyset$ (vacuously).