Producto de medidas complejas

Question

Dejemos que $\lambda, \mu$ sean medidas complejas sobre $(X,\alpha)$ y $(Y,\beta).$ Demostrar que existe una única medida compleja $\lambda\times \mu$ en el álgebra de sigma $\alpha\otimes \beta,$ tal que $(\lambda\times \mu)(A\times B)=\lambda(A)\mu(B),$ por cada $A\in \alpha, B\in \beta.$

Esta pregunta es de un antiguo examen para el que estoy estudiando.

Mi idea es la siguiente. Porque $\mu\ll|\mu|,$ por Radon Nikodym tenemos $$\mu(A)=\int_A fd|\mu|,$$ también $\lambda(A)=\int_B gd|\lambda|.$ Ahora tenemos $$\mu(A)\lambda(B)=\int_A fd|\mu|\int_B gd|\lambda|=\int_B\int_Af(x)g(y)d|\mu|(x)d|\lambda|(y)=\int_{A\times B}f(x)g(y)d(|\mu|\times|\lambda|).$$ La expresión $$\int_{A\times B}f(x)g(y)d(|\mu|\times|\lambda|)$$ define una medida sobre $A\times B.$ Lo sé. $|\mu|\times|\lambda|$ es una medida positiva única en $A\times B$ tal que $(|\mu|\times|\lambda|)(A\times B)=|\mu|(A)\cdot|\lambda|(B).$ No puedo terminar la prueba de aquí en adelante, pero supongo que mi idea está en el camino correcto.

Si supiera que $(|\mu|\times|\lambda|)(A\times B)=|\mu|(A)\cdot|\lambda|(B),$ entonces la unicidad es obvia. Pero, ¿es eso cierto? ¿Cómo puedo demostrarlo? Si no es cierto, ¿cómo puedo terminar la prueba? Por favor, ayuda.

Answer 1

Utiliza las partes reales e imaginarias de las medidas de los componentes y las partes positivas y negativas de éstos.