Deje $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ ser un almacén de dominio. El uso de una energía argumento, muestran que la IBVP \begin{align} u_t &= \Delta u ~~~~~~~~~~x \in \Omega, ~t>0\\ \frac{\partial u}{\partial \nu} + \alpha u &= h(x) ~~~~~~~~x \in \partial\Omega, ~t>0\\ u(x,0)&=g(x) ~~~~~~~~~x \in \Omega \end{align} donde $\nu$ es el exterior de la unidad normal y $\alpha$ es una constante que tiene más de una solución. El tratamiento de los casos de $\alpha \geq 0$ $\alpha<0$ por separado. Uso logarítmica convexidad para el segundo caso.
Mi intento de solución: Por contradicción, supongamos que hay dos soluciones $u_1$ $u_2$ y definen $v = u_1 - u_2$. A continuación, $v$ satisface \begin{align} v_t &= \Delta v ~~~~~~~~~~x \in \Omega, ~t>0\\ \frac{\partial v}{\partial \nu} + \alpha v &= 0 ~~~~~~~~~~~~~x \in \partial\Omega, ~t>0\\ v(x,0)&=0 ~~~~~~~~~~~~~x \in \Omega \end{align} Definir la energía funcional a ser $$E(t)= \frac{1}{2}\int_\Omega v^2 \,dx.$$ El caso de $\alpha \geq 0$ es trivial. Sólo me mostró que $$\frac{dE}{dt}=\int_\Omega v \, v_t \,dx \leq 0$$ usando el Verde de la identidad de la primera y las condiciones en las $v$. Entonces a partir de la $E(0)=0$ debemos tener $E(t)=0$, y, por tanto,$v=0$.
Para el $\alpha<0$ caso quiero mostrar que $$E\frac{d^2E}{d^2t} - \left( \frac{dE}{dt} \right)^2 \geq 0\,.$$ Desde $E \geq 0$, por logarítmica convexidad tendríamos $E=0$.
Sin embargo, me estoy quedando con algunos problemas. Puedo tomar \begin{align} \frac{d^2E}{dt^2}=\int_\Omega v_t^2 \,dx + \int_\Omega v \, v_{tt} \,dx\,. \end{align} Luego, para el segundo término escribo \begin{align} \int_\Omega v \, v_{tt} \,dx &=\int_\Omega v \, \Delta v_t \, dx\\ &= \int_\Omega v_t \, \Delta v \, dx \\ &= \int_\Omega (v_t)^2 \, dx \end{align}
donde solía Verde de la segunda identidad y el límite de término desapareció debido a la condición de contorno en $v$. Explícitamente:
\begin{align} \int_{\partial \Omega} v\frac{\partial v_t}{\partial \nu} - v_t \frac{\partial v}{\partial \nu} dS= \alpha \int_{\partial \Omega} -v v_t + v_t v \, dS = 0 \end{align} por la homogeneidad de Robin condición.
Por lo tanto, obtener $$E\frac{d^2E}{d^2t} - \left( \frac{dE}{dt} \right)^2 = \frac{1}{2}\int_\Omega v^2 dx \cdot 2 \int_\Omega v_t^2 dx - \left( \int_\Omega v v_t \, dx \right)^2 \geq 0$$ por el Cauchy-Schwarz desigualdad.
Así que yo hice la prueba sin siquiera usar la suposición $\alpha < 0$, que me parece muy extraño. Hice un error en alguna parte?
EDIT: Parece que mi prueba es realmente correcto. Supongo que la redacción de la pregunta sólo me tuvo pensando que había un problema.
