Mi interés es puramente en $\text{SO}(n)$ tensores y cómo uno trabaja su descomposición irrep. Por ejemplo, para tensores de rango 2 nosotros simplemente dividido en una parte antisimétrica, parte simétrica traceless y el rastro. ¿Existe un procedimiento recursivo más general, para los tensores de rango mayor? Si no, ¿qué es el método habitual al tratar de hacerlo decir fila 3 o 4? Cualquier punteros a la literatura sería más útiles.
Respuestas
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Usted necesita la Clebsch-Gordan de descomposición, al menos en el caso de $n = 3$. La razón por la que se descompone un rango de $2$ tensor de la manera que usted describe es que
$$\mathbf{1} \otimes \mathbf{1} = \mathbf{2}\oplus \mathbf{1} \oplus \mathbf{0} $$
donde los números en negrita indican spin representaciones.
Aquí un poco más de detalle. En la física cuántica realmente estamos muy interesados en las representaciones de la Mentira álgebra de $SO(n)$ es decir $\mathfrak{so}(n)$. El más útil en el caso de física a los efectos de es $n = 3$, donde hay un isomorfismo
$$\mathfrak{so}(3) = \mathfrak{su}(2)$$
El Clebsch-Gordon es resultado de la estructura de las representaciones de $\mathfrak{su}(2)$. En breve, $\mathfrak{su}(2)$ ha irreps $\mathbf{n}$ por cada media entero $n$. Cada irrep ha $2n+1$ característica de las etiquetas de los llamados pesos, distribuidos equitativamente los espacios entre las $-n$$n$. Físicamente uno interpreta como el componente $j_3$ de la vuelta.
Cuando usted toma un producto tensor de irreps los pesos se suman, para darle pesos para el tensor de la representación de los productos. Un teorema dice que esta se descompone en la suma directa de irreps de la única manera en que utiliza todos estos pesos.
En caso de que todo suena absurdo, vamos a hacer un ejemplo concreto. Los tensores que mencionas son los elementos del tensor de productos de la representación vectorial de los $\mathfrak{su}(2)$ típicamente denota $\mathbf{1}$. Queremos probar el resultado por encima de ese
$$\mathbf{1} \otimes \mathbf{1} = \mathbf{2}\oplus \mathbf{1} \oplus \mathbf{0} $$
Bien $\mathbf{1}$ pesos $+1,0,-1$ por lo que el producto tensor se han pesos
$$-2,-1,-1,0,0,0,+1,+1,+2$$
que son todas las posibles maneras de agregar los pesos para $\mathbf{1}$. Ahora reescribir esta lista sugestivamente
$$-2,-1,0,+1,+2,\ \ \ \ \ \ -1,0,+1,\ \ \ \ \ \ 0$$
Estos son sólo los pesos para una $\mathbf{2}$ además de las ponderaciones para el $\mathbf{1}$ además de las ponderaciones para el $\mathbf{0}$.
Ahora no es difícil identificar a $\mathbf{2}$ con el traceless matrices simétricas, $\mathbf{1}$ con el antisimétrica queridos y $\mathbf{0}$ con el seguimiento, comprobación de que todas estas transformar correctamente en las correspondientes representaciones.
Como un ejercicio que ahora tienen las herramientas para demostrar que
$$\mathbf{1} \otimes \mathbf{1} \otimes \mathbf{1} = \mathbf{3}\oplus \mathbf{2} \oplus \mathbf{1} \oplus \mathbf{0}$$
Puede usted identificar lo que estos son, en términos de la descomposición de la fila $3$ tensor? Sugerencia: existen totalmente simétrica tracefree tensores, totalmente antisimétrico tensores, una traza plazo, y los tensores de la mezcla de simetría.
He aquí una buena referencia para la Mentira álgebra cosas. Déjeme saber si usted necesita más detalles!
P. S. no sé lo que uno puede hacer para general $n\neq 3$. El Clebsch-Gordan la amabilidad es una propiedad específica de la $\mathfrak{su}(2)$, por lo que espero que se hace bastante complicado. Tal vez alguien tiene alguna experiencia aquí?
Michael Hardy
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Hay un on-line de la página web , donde usted puede tener algunos resultados sobre el producto de $2$ representaciones: (en la primera página, elegir el producto tensor de descomposición y elija $Bx =SO(2x+1)$ o $Dx = SO(2x)$ , luego, en la segunda página, elija el Dynkin índices de los 2 representaciones, y obtener los índices de Dynkin de las representaciones que entran en el proceso de descomposición).
(Si desea que el producto de 3 representaciones, el uso de 2 pasos.)
De otro de referencia (Ref : Pierre Raymond, Teoría de grupos, Un físico de la Encuesta, Cambridge), parece que hay un patrón que se refiere (al menos para $n \ge7$) la multiplicación de una fundamental representación $n$ el (2-totalmente antisimétrico) adjunto de la representación : $\frac{n(n-1)}{2}$ . Tenemos : $$n \otimes \frac{n(n-1)}{2} = n \oplus \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \oplus\frac{n(n^2-4)}{3}$$
El segundo término es el 3-totalmente antisimétrico representación. Por ejemplo, tenemos :
$$7_{(100)}\otimes 21_{(010)}=7_{(100)} \oplus35_{(002)} + \oplus105_{(110)}$$ $$8_{(1000)}\otimes 28_{(0100)}=8_{(1000)} \oplus56_{(0011)} + \oplus160_{(1100)}$$ $$9_{(1000)}\otimes 36_{(0100)}=9_{(1000)} \oplus84_{(0010)} + \oplus231_{(1100)}$$ $$10_{(10000)}\otimes 45_{(01000)}=10_{(10000)} \oplus120_{(00100)} + \oplus320_{(11000)}$$ donde el Dynkin índices están escritos para las representaciones.
