¿Dado un grupo $G$ y dos subgrupos conjugado $ H $ y $ H'=gHg^{-1} $, es la verdad de la Proposición siguiente?
Hay sólo dos posibilidades para los subgrupos: o $ H\cap H' = 1 $ o $ H=H'$.
Creo que estos resultado es falso, pero no puedo encontrar un contraejemplo (tal vez es cierto). Por favor, ayúdame.
Comentario de Steve D destaca lo que puede suceder si el grupo $G$ tiene un no identidad normal $2$-subgrupo, pero $H$ es un Sylow $2$-subgrupo que no es normal. Mayoría de los grupos simple finita tiene un par de % de % #-subgrupos de Sylow $2$ #% y $H$ tal que $K$ $H \cap K \neq 1,$ y $H$ son obviamente conjugadas. Un ejemplo explícito es el simple grupo $K$
En realidad, hay un nombre para lo que estás hablando. Dado un subgrupo $H\leqslant G$ y un $g\in G$, $H\cap H^g$ se conoce como el giro de $H$$g$. (Aquí se $H^g$ denota $g^{-1}Hg$.) Hay muchos ejemplos donde $H\cap H^g$ es trivial y adecuada en $H$, especialmente entre los subgrupos de Sylow.
Ahora, incluso más pertinente a su pregunta es la siguiente definición:
Definición. Deje $X\subseteq G$ ser un subconjunto. A continuación, $X$ es un T. I. establecer (corto para "trivial intersección") si para cada a$g\in G$, $H\cap H^g=H$ o $H\cap H^g=1$. Por supuesto, si un subgrupo pasa a ser un T. I. establecer, es lo que llamamos una T. I. subgrupo.
Como resulta, T. I. subgrupos son importantes en la teoría de la representación, especialmente en los lemas usados para probar cosas grandes como el teorema de Frobenius.
Un ejemplo de dónde T. I. subgrupos surgen de forma natural en el Sylow $p$-subgrupos de la simple grupos $PSL(2,p)$ (y, de hecho, en cualquier grupo con el auto centralización de Sylow $p$-subgrupos de primer orden que son adecuados en su normalizadores).
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