Encontrar la suma de los n primeros números de la serie: $7,77, 777,...$

Question

Encontrar la suma de los primeros números de $n$: $7,77, 777,...$

Pensé que encontrar un orden dividiendo $77/7=11, 777/7=111...$

pero no sé cómo continuar.

Answer 1

Sugerencia: Si usted divide cada término por $7$, entonces multiplica cada término por $9$, la serie se convierte en: $9, 99, 999, 9999, \ldots$.

Ahora, añadir $1$ a cada término para obtener una serie de aspecto familiar: $10, 100, 1000, 10000, \ldots$.

El término de $n$-ésimo de esta serie es claramente $10^n$. Ahora, deshacer las operaciones para obtener una expresión para el término de $n$-ésimo de la serie original. Encontrar la suma de esta serie debería ser fácil si usted sabe la fórmula para la suma de una serie geométrica.

Answer 2

JimmyK4542 dio una gran respuesta. Se rompen hacia abajo un poco más. Escribir

$$\begin{align*} \underbrace{7+77+777+\ldots}_{n\text{ terms}} &= \frac{7}{9}\left(\underbrace{9+99+999+\ldots}_{n\text{ terms}}\right) \\\\ &= \frac{7}{9}\Big(\underbrace{(9+1)+(99+1)+(999+1)+\ldots}_{n\text{ terms}}-n\Big) \\\\ &= \frac{7}{9}\left(\sum_{k=1}^n10^k-n\right)\;. \end{align*}$$

Y por último el hecho de que $$\sum_{k=1}^nx^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}-1$$ with $x = 10$ para darte una solución de forma cerrada.

Answer 3

Sugerencia: Escriba $u_n = 7+\cdots+777$ ($n$ términos). Sabes $u_0,u_1$; por otra parte, $u_{n+1} = 10u_n + 7(n+1)$ (¿ves por qué?).