Cómo probar $A^2=0$, si $AB-BA=A$

Question

matriz de #% % que #% y el % de matriz $A_{2\times 2}$es Plaza del orden, tal %#% $#% Mostrar %#%$ #%

Mi idea: desde B$de % que$$AB-BA=A$ $

Pregunta: 2

Si $$A^2=0$ matriz y el % de matriz$$ Tr(AB)=Tr(BA)$orden cuadrado, tal$$Tr(A)=Tr(AB-BA)=Tr(AB)-Tr(BA)=0$ $entonces también tenemos$A_{n\times n} y luego no podemos seguir. Gracias

Answer 1

Dices que $tr(A) = tr(AB)-tr(BA)=0$. Por lo tanto la ecuación de Cayley Hamilton nos dice que $A^2 = \det(A) I_2$.

Por otro lado tenemos $A^2= A^2B-ABA=ABA-BA^2$. Por lo tanto $2A^2 = A^2B-BA^2=0$ $A^2$ es un múltiplo de la identidad.

Answer 2

Un enfoque alternativo de la geométrico:

• Tenemos $A\in \mathfrak{sl}_2$ y se puede suponer que $B\in \mathfrak{sl}_2$ así. Por lo tanto $A$, $B$ puede considerarse como vectores $\vec{a},\vec{b}\in \mathbb{C}^3$. En este cuadro, $[A,B]\sim \vec{a}\wedge \vec{b}$ y $\operatorname{Tr}AB\sim \vec{a}\cdot\vec{b}.$

• Ahora desde $\vec{a}\wedge \vec{b}\sim \vec{a}$, tomando el producto escalar con $\vec{a}$, tenemos $\operatorname{Tr}A^2\sim\vec{a}\cdot \vec{a}=0$. En cuanto a $A\in\mathfrak{sl}_2$ uno tiene $A^2=\frac{\operatorname{Tr}A^2}{2} I$, el resultado sigue.

Answer 3

$AB - BA = A \Rightarrow A^2B - ABA = A^2 \Rightarrow$ $$-ABA = A^2(I-B)$$$ AB - BA = A \Rightarrow ABA - BA^2 = A^2 \Rightarrow$% #$%#% Agregando este identidades: $$ABA = (I+B)A^2$