Encontrar $n$ tal que el numerador de $1+\frac{1}2+\frac{1}3+\cdots+\frac{1}n$ es un número cuadrado

Question

Sea $ $$a_n=1+\frac{1}2+\frac{1}3+\cdots+\frac{1}n=\frac{p_n}{q_n},$de % que $gcd(p_n,q_n)=1.$

$$\{a_n\}=\left\{1,\frac{3}{2},\frac{11}{6},\frac{25}{12},\frac{137}{60},\frac{49}{20},\frac{363}{140},\cdots\right\}$$

Por lo tanto, $p_1=1,p_4=5^2,p_6=7^2,$ ¿hay cualquier otros $n$ tal que $\sqrt{p_n}\in\mathbb N$?

Answer 1

No una manifestación, pero lo he probado con mathematica hasta $n=1000$ (es ahora hasta $10000$) y el único que mathematica encontrados fueron $1$, $25$und $49$.

Actualizado: hasta $10000$ nada más :-)

Código sencillo si alguien esta interesado

f[n_] := Sum[1/i, {i, n}];
Nf[n_] := Numerator[f[n]];
IsSqr[x_] := IntegerQ[Sqrt[x]];
Do[
 If[IsSqr[Nf[i]],
  Print[Nf[i]], ], {i, 10000}]