Es $n \sin n$ densa en la recta real?

Question

Es $\{n \sin n | n \in \mathbb{N}\}$ densa en la recta real?

Si es así, es $\{n^p \sin n | n \in \mathbb{N}\}$ denso para todos los $p>0$?

Esto parece mucho más difícil de mostrar que $\sin n$ es denso en [-1,1], que es fácil de demostrar.

EDIT: Esto parece un poco más difícil que el siguiente relacionados con el problema, lo que podría dar algo de información:

Cuando se $\{n^p [ \sqrt{2} n ] | n \in \mathbb{N}\}$ densa en la línea real, donde $[\cdot]$ es la parte fraccionaria de la expresión?

Pienso que debe haber algún argumento probabilístico para estas cosas.

EDIT 2:

Ok, así que planear un histograma sobre $n \sin n$ es similar a la de trazado $n \sin(2\pi X)$ donde $X$ es una distribución uniforme en $[-1,1].$ Esto no es sorprendente, ya que $n$ mod $2\pi$ se distribuye de manera uniforme en $[0,2\pi].$

Ahora, el pdf de $\sin(2\pi X)$ está dado por $f(x)=\frac{2}{\pi \sqrt{1-x^2}}$ en $(-1,1)$ y 0 fuera de este conjunto.

El pdf para $n \sin(2\pi X)$ $g_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{nk} f(x/k)$ por lo que el límite de la densidad es lo que obtenemos al $n \rightarrow \infty.$ (Este se integra a 1 a través de la línea real).

Ahora, debería ser sencillo para mostrar que para cualquier intervalo de $[a,b],$ $\int_a^b g_n(x) dx \rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty.$

Por lo tanto, la serie de $g_n$ es "muy plano" para ser capaz de acumular probabilidad positiva en cualquier lugar. (La distribución de gauss en el otro lado, tiene efectos positivos integral en cada intervalo).

Answer 1

La respuesta a la primera pregunta dependerá de los detalles de aproximaciones racionales de $\pi$, quizás más de lo que es realmente conocido. Una parcela de $n \sin(n)$ muestra algunas interesantes aparente estructura, probablemente debido a algunas muy buenas aproximaciones racionales.

Answer 2

Para un gran $p$ la secuencia de $(n^p \sin n)$ no puede ser denso por el siguiente argumento: existe una secuencia de enteros positivos $(m_n)$ tal que $|n - m_n \pi| \le \pi/2$. Utilizando la estimación $|\sin t| \ge \frac2\pi |t|$ $|t| \le \pi/2$ obtenemos $$|n^p \sin n| \ge \frac2\pi n^p |n-m_n \pi| \ge \frac2\pi n^p m_n \left|\frac{n}{m_n} - \pi\right|.$$ Ahora se sabe que existe $\nu<\infty$ $q_0 <\infty$ tal que para todas las aproximaciones racionales $p/q$ $q \ge q_0$ $\pi$tenemos $|\pi - p/q| \ge q^{-\nu}$. (Al parecer el mejor valor conocido es $\nu = 7.6063\ldots$, como se muestra en un papel de V. Kh. Salikhov.) Desde $m_n = n (1/\pi + o(1))$ existe $n_0$ tal que $m_n \ge q_0$$n\ge n_0$, y tenemos $$|n^p \sin n| \ge \frac{2}{\pi}n^{p}m_n^{1-\nu} = \frac{2}\pi n^{p+1-\nu}(1/\pi + o(1))^{1-\nu} = 2 n^{p+1-\nu}(\pi+o(1))^\nu.$$ Así que si $p+1-\nu > 0$, o, equivalentemente, si $p>\nu -1 =6.6063\ldots$,$|n^p \sin n| \to \infty$$n\to \infty$. (Observe que aun cuando $p=\nu-1$, la secuencia podría no ser denso, sería apartó de $0$.)

Answer 3

Echemos un vistazo a la simple pregunta de si $0$ es un punto límite.

Al $p<1$ ciertamente tenemos que $0$ es un punto límite, por el siguiente argumento. Desde $\pi$ es irracional, hay infinitamente muchas buenas aproximaciones racionales $a/b$ con la propiedad $|\pi - \frac{a}{b}| < \frac{1}{b^2}$. Por lo $|b \pi -a| < 1/b$. Desde $\sin$ es limitada por una función lineal de pendiente $1$ cerca de cada cero de $\sin$, vemos que $$|\sin(a)| = |\sin(b\pi -(b \pi -a))| < |b \pi -a| < 1/b.$$ Hence, $|a^p \pecado a| < ^p/b = a^{p-1} a/b$ which is roughly $^{p-1} \pi$. So for large enough $$ we get arbitrarily small $^p \sen$.

El mismo argumento muestra que si $p+1$ es estrictamente menor que la irracionalidad medida de $\pi$ (que es hay infinitamente muchas aproximaciones $a/b$ dentro $1/b^{p+1}$), $0$ es un punto límite de $n^p \sin n$.

Ejecutando el mismo argumento al revés, si $p+1$ es estrictamente mayor que la irracionalidad medida de $\pi$ (que es que no hay infinitamente muchas aproximaciones de $a/b$ dentro $1/b^{p+1}$), $0$ no es un punto límite de $n^p \sin n$. Desde la irracionalidad medida de $\pi$ es conocido para que sea menor que 7.61 (Salikhov la mejora en Hata), esto demuestra que la respuesta a tu pregunta es definitivamente negativo para $p>6.61$.

Mi entendimiento es que se "espera" que $\pi$ ha irracionalidad de medida $2$, por lo que esto significaría que $0$ es un punto límite al $p<1$ y no es un punto límite al $p>1$.

En el caso de que $p+1$ es exactamente igual a la irracionalidad de la medida de $\pi$ es más sutil. En particular, desde el mejor límite inferior tenemos sobre la irracionalidad de la medida de $\pi$ es que es mayor que o igual a $2$, en el caso de $p=1$ es sutil.

Para $p=1$ creo $0$ ser un punto límite es exactamente la misma cosa que la continuación de la fracción ser ilimitado. No estoy seguro de si este es conocido por $\pi$ o no, pero sin duda debemos esperar que la respuesta sea sí.