Por la dualidad de Pontryagin encontrar las transformadas de Fourier localmente compacto grupos y usted puede traducir la medida de Haar sobre ellos de modo que (creo) en la Mentira de grupo en caso de obtener una métrica de Riemann en el que se evalúa en tangente vectores como el producto interior de la Mentira-álgebra. E. g. como una suave grupo $SU(2)$ tiene una transformada de Fourier por la dualidad y, ciertamente, una métrica como $SU(2)∼\mathbb{S}^3⊂\mathbb{R}^4$.
En el Pontryagin caso, es fundamental considerar el grupo homomorphisms $\phi:G\rightarrow U(1)$ de su grupo $G$, en el círculo de grupo. Los mapas de $\phi$ traducir el grupo de operación $G$ para el grupo de operación $U(1)$, que puede ser el pensamiento de la multiplicación de las fases. En la distancia euclídea caso de $G=\mathbb{R}$, usted tiene vectores $\vec x,\vec y\in \mathbb{R}$ y el grupo de operación de la adición $\vec x+\vec y$. A continuación, las funciones $x\mapsto e^{i \vec p\vec x}$ (hay una función para cada una de las $\vec p$) son los únicos homomorphisms: $e^{i \vec p\vec x}e^{i \vec p\vec y}=e^{i \vec p(\vec x+\vec y)}$ ($U(1)$ grupo de operación en el lado izquierdo, $G$ grupo de operación de la derecha). Este, a continuación, se refiere a la función adecuada del espacio de $G\rightarrow \mathbb{C}$. La dualidad implica una representación de las funciones de $f(x)$ $G$ que implica una integral con la medida de Haar y la homomorphism. En el caso de $G=\mathbb{R}$ $f(x)=\int g(p)e^{ipx}\text dp$ para algunos $g$. $x$- y $p$-espacio (de la traducción y del espacio de la fase) resultan ser $\mathbb{R}$.
La clave es que en una Mentira grupo puede traducir cosas alrededor y, por tanto, construir la $\phi$-mapas. Para cualquier colector sin flujo apropiado, esto podría ser más difícil.
(Espere las respuestas y comentarios).
