Evaluar la integral $\int x^{\frac{-4}{3}}(-x^{\frac{2}{3}}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm dx$

Question

$$x^{\frac{-4}{3}}(-x^{\frac{2}{3}}+1)^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{(-\sqrt[3]{x^2}+1)}}{\sqrt[3]{x^4}}$$

¿Es necesario simplificar la función más? ¿Sustitución de lo que es útil?

$u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ no funciona.

Answer 1

Según lo sugerido en el comentario de RecklessReckoner, primero cambiemos variable $x=u^3$ y $dx=3u^2du$. Así, $$I=\int \frac{\sqrt{1-x^{2/3}}}{x^{4/3}}dx=3\int\frac{ \sqrt{1-u^2}}{u^2}du$% $ de u=\sin(t)$ Now, $du=\cos(t)\,dt$, $$ makes $$I=3\int \cot ^2(t)\,dt=3\int \frac{1-\sin^2(t)}{\sin^2(t)}dt =3\Big(\int \frac{dt}{\sin^2(t)}-\int dt \Big)=-3 \big(t+\cot (t)\big)$x=\sin^3(t) de $ For sure, we could have saved a step with a single change of variable $.

Answer 2

Aviso, $$\int x^{-4/3}\left(-x^{2/3}+1\right)^{1/2}\ dx$$$$=\int \frac{1}{x}\left (-x ^ {2/3} + 1\right) ^ {1/2}(x^{-1/3}\ dx)$ $

Let $-x^{2/3}+1=\sin^2\theta\implies -\frac{2}{3}x^{-1/3}\ dx=2\sin\theta\cos\theta\ d\theta$ or $x^{-1/3}\ dx=-3\sin\theta\cos\theta\ d\theta $ $$=\int\frac{1}{(1-\sin^2\theta)^{3/2}}(\sin\theta)(-3\sin\theta\cos\theta\ d\theta )$$ $$=-3\int\frac{\sin^2\theta\cos\theta}{\cos^3\theta}\ d\theta$$ $$=-3\int\tan^2\theta\ d\theta$$ $$=-3\int(\sec^2\theta-1)\ d\theta$$

$$=-3(\tan\theta-\theta)+C$ $ $$=3\theta-3\tan\theta+C$ $ sustituir de nuevo el valor de $\theta$, $$=\color{red}{3\sin^{-1}(\sqrt{1-x^{2/3}}) \ - \ 3 \frac{\sqrt{x^{-2/3}-1}}{x^{1/3}} \ + \ C}$ $

Answer 3

Comentario de RecklessReckoner el siguiente:

Tenemos $\int x^{\frac{-4}{3}}(-x^{\frac{2}{3}}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm dx$.

Ahora, que $u=x^{1/3}$ y $3u \mathrm du=\mathrm dx$

Esto da a $3\int u^{-4}(-u^{2}+1)^{\frac{1}{2}}u\mathrm du=3\int u^{-3}(-u^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm du=3\int u^{-3}(1-u^{2})^{\frac{1}{2}}\mathrm du.$

A continuación, realizamos otra sustitución: que $u=\sin t$ y $\mathrm du=\cos t \mathrm dt$

$3\int u^{-3}(1-u^{2})^{\frac{1}{2}}\mathrm du=3\int {\sin^{-3} t}(1-{\sin}^{2} t)^{\frac{1}{2}}\cos t\mathrm dt=3\int {\sin^{-3} t}({\cos}^{2} t)^{\frac{1}{2}}\cos t\mathrm dt$

$=3\int {\sin^{-3} t} \,{\cos}^{2} t\mathrm dt=3\int \frac{\cos^2t}{\sin^3 t} \mathrm dt=3\int {\cot^2t} \,{\csc t} \mathrm dt$

Podemos utilizar la identidad $\csc^2 t-1= \cot^2 t.$

$3\int {\cot^2t} \,{\csc t} \mathrm dt=3\int (\csc^2 t-1)\csc t \mathrm dt=3\int \csc^3 t-\csc t \mathrm dt=3\int \csc^3 t \mathrm dt- \int \csc t \mathrm dt.$

Para el segundo término utilice el hecho de que $\int \csc t \mathrm dt =-\log|\csc t+\cot t| \mathrm dt+C$

Para el primer término, utilice la fórmula %#% reducción #% $

con m = 3.

Entonces, el substituto para $$\int \csc^m t \mathrm dt= \frac{(-\cos t)(\csc^{m-1} t)}{m-1}+\frac{m-2}{m-1}\int \csc^{m-2} t \mathrm dt$ y $t$. ¿Lo puede tomar desde aquí?