Sabemos que $\frac{\sin(x)}{\tan(x)} = \cos(x)$. Pero en $x = 0$, el lado izquierdo se convierte en $0/0$. ¿Así que la función es indefinida en ese punto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La convención general para el valor real de las funciones de variable real (al menos como se discutió en la mayoría de cálculo de los libros) es:
Si una función $f$ está dada por una fórmula, y no de dominio se especifica de forma explícita, entonces el dominio de $f$ es entendida como el dominio de la naturaleza, es decir, el conjunto de todos los $x$ para que la fórmula "tiene sentido".
Y, en general, para dos funciones para ser considerado igual que usted los necesita, al menos, tienen el mismo dominio y el mismo valor en todos los puntos del dominio (si el codominio importa o no es una cuestión de contexto y definiciones).
Desde ese punto de vista, las funciones $$f(x) = \frac{\sin x}{\tan x}\quad\text{and}\quad g(x) = \cos x$$ no son "la misma función": el dominio de la naturaleza de la $f(x)$ se compone de todos los $x$ que no son múltiplos enteros de $\pi/2$, mientras que el dominio de la naturaleza de la $g(x)$ es todos los números reales. En los números que se definen las funciones de acuerdo.
Así, ha, estas dos funciones no la misma función.
A veces, queremos relajar la condición en el dominio un poco y considerar la "extraíble discontinuidades." Es decir, dada una función de $f(x)$ si $x=a$ es un punto que no está en el dominio de $f(x)$, pero donde $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ existe, entonces nosotros "redefinir" $f(x)$ tener este límite como su valor en $x=a$, e incluyen $x=a$ en el dominio. Aquí, debido a que $f(x)$ $g(x)$ está de acuerdo en todas partes excepto en los múltiplos enteros de $\pi/2$ donde $f(x)$ no está definido, a veces nos fudge de la diferencia. Pero, formalmente hablando, cuando escribimos $$\frac{\sin x}{\tan x} = \cos x,$$ en realidad queremos decir "dondequiera que estén definidos", al igual que cuando escribimos $$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$$ estamos diciendo que la igualdad se mantiene en los puntos donde el lado izquierdo se define, y se están haciendo ninguna afirmación acerca de lo que sucede en los puntos fuera de los dominios de $\sec(x)$$\tan(x)$.
Michael Hardy
Puntos
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La convención general para el complejo devalores de funciones complejas de variable es: quitar el extraíbles discontinuidades, por ejemplo, $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\tan x} = 1 $$ de modo que tome a ser el valor de la función en 0. (Excepto que es tradicional el uso de $z$ en lugar de $x$ aquí, y a menudo se utiliza $x$ $y$ para las partes real e imaginaria de $z$, es decir, $z = x+iy$ $x$ $y$ son reales.)
Pero podría añadir esto: a mí me parece que la misma convención, con frecuencia tiene sentido en la trigonometría sin variables complejas y no cálculo para ser visto en cualquier lugar. Y en trigonometría, también por lo general tiene sentido seguir el mismo convenio, en el complejo de variables, que no es sólo uno de los $\infty$, no un $+\infty$$-\infty$. Que hace la tangente, cotangente, secante y cosecante funciones continuas en todas partes.
