Módulo que no es suma directa de submódulos indescomponible

Question

Me gustaría encontrar un ejemplo de un anillo $R$ y un $R$-módulo $M$, que no se puede escribir como una suma directa de submódulos indescomponible, es decir, $$ M \not \cong \bigoplus\limits_{i \in I} M_i para todo conjunto de $\{M_i \;\vert\; i \in I \}$ de submódulos indescomponible.

En ese caso, sé que debe ser $M$ noetheriano ni artinian, pero no pude encontrar un ejemplo. ¡Cualquier ayuda sería apreciada!

Answer 1

Una buena manera de encontrar ejemplos como este es mirar al infinito productos. Por ejemplo, supongamos $k$ ser un campo (o, más en general, cualquier anillo con no trivial idempotente elementos), vamos a $T$ ser un conjunto infinito, vamos a $R=k^T$ (un producto de copias de $k$ indexados por $T$), y deje $M=R$. No es demasiado duro para demostrar que cualquier daño directo sumando de a $M$ es de la forma $k^S$ para algún subconjunto $S\subseteq T$ (para mostrar esto, utilice el hecho de que un sumando directo de un anillo como un módulo más de sí mismo que es generado por un idempotente). Por lo tanto la única indecomposable directa sumandos de $M$ son los de la forma $k^S$ al $S$ es un singleton. Pero la suma directa de todos estos es sólo la infinita suma directa de $k^{\oplus T}$, que es el submódulo de $M$ consiste solamente de los elementos que se $0$ en todos excepto un número finito de coordenadas. Por lo tanto $M$ no es una suma directa de indecomposable submódulos.

Aquí hay otro ejemplo que muestra que usted no tiene que trabajar sobre algunos de los grandes complicado anillo. Tome $R=\mathbb{Z}$ y deje $M=\mathbb{Z}^T$ para cualquier conjunto infinito $T$. Yo reclamo que $M$ no es una suma directa de indecomposable submódulos. Desde $M$ no es libre, es suficiente para mostrar que cualquier indecomposable submódulo de $M$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$. Para mostrar esto, tenga en cuenta que si $N\subseteq M$ es cualquier valor distinto de cero submódulo, luego de algunos $t\in T$ la proyección de $p_t:N\to\mathbb{Z}$ a de la $t$th factor del producto es distinto de cero. Por lo tanto $p_t(N)=n\mathbb{Z}$ para algunos distinto de cero $n\in\mathbb{Z}$, y desde $n\mathbb{Z}$ es libre la surjection $p_t:N\to n\mathbb{Z}$ se divide y da un sumando directo de $N$ isomorfo a $n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}$. Así que si $N$ es indecomposable, debe ser isomorfo a $\mathbb{Z}$.