Dado un subconjunto $S$$[n]$, nos vamos a denotar por $x_i$ (resp. $y_i$) las longitudes de las ejecuciones sucesivas de los elementos en el interior (resp. fuera de) $S$. Por ejemplo, si $n=7$$S=\{1,2,4,5,6\}$, entonces usted tiene $x_1=2$ (correspondiente a $1,2\in K$), $y_1=1$ (correspondiente a $3\notin K$), $x_2=3$ y $y_2=1$.
El uso de la correspondencia anterior, se tiene que cualquier $k$-subconjunto $S$$[n]$, con al menos $m$ consecutivos elementos está determinada únicamente por un único par $\bigl((x_i),(y_i)\bigr)$ (finito) de las secuencias de enteros positivos tal que $\sum_ix_i=k, \sum_iy_i=n-k, x_i,y_i\geq1$ por cada $i$ $x_i\geq m$ algunos $i$. Si la secuencia de $x$s tiene una longitud de $r$ (es decir, si nuestro subconjunto $S$ $r$ carreras de elementos consecutivos), entonces la mutuamente excluyentes posibilidades para el "trenzado" de la secuencia de $(y_i)$ con la secuencia de $(x_1,\dots,x_r)$ son los siguientes:
Si $1,n\in S$, a continuación, el trenzado es de la forma $x_1,y_1,x_2,y_2,\dots,x_{r-1},y_{r-1},x_r$.
Si $1,n\notin S$, a continuación, el trenzado es de la forma $y_1,x_1,y_2,x_2,\dots,y_r,x_r,y_{r+1}$.
Si $1\in S$$n\notin S$, a continuación, el trenzado es de la forma $x_1,y_1,x_2,y_2,\dots,x_r,y_r$.
Si $1\notin S$ pero $n\in S$, a continuación, el trenzado es de la forma $y_1,x_1,y_2,x_2,\dots,y_r,x_r$.
Recordemos que el número de soluciones en $\mathbb N$ de la ecuación de $z_1+\cdots+z_p=q$ es, precisamente,$\binom{p+q-1}{p-1}$, y el número de soluciones en $\mathbb Z^+$ de la misma ecuación se $\binom{q-1}{p-1}$ (porque el cambio de $z_i$$z_i-1$, entonces usted está buscando soluciones en $\mathbb N$$z_1+\cdots+z_p=q-p$). Desde cada una de las $x_i$ debe $\geq1$, entonces el cambio de $x_i$ $x_i-1$ vemos que queremos soluciones en $\mathbb N$ $x_1+\cdots+x_r=k-r$ $x_i\geq m-1$ algunos $i$, por lo que debemos aplicar inclusión-exclusión. Para cada una de las $j$ deje $A_j=\bigl\{(x_1,\dots,x_r): x_1+\cdots+x_r=k-r, x_j\geq m-1\bigr\}$. Si $1\leq j_1<\cdots<j_\ell\leq r$, luego cambiando $x_i$ $x_i-(m-1)$ $i=j_1,\dots,j_\ell$ vemos que los elementos en $A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_\ell}$ corresponden a soluciones en $\mathbb N$$x_1+\cdots+x_r=k-r-\ell(m-1)$, y por lo $\bigl|A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_\ell}\bigr|=\binom{k-\ell(m-1)-1}{r-1}$. Por lo tanto el número de soluciones de $(x_1,\dots,x_r)$, fija $r$, es igual a
$$\sum_{\ell=1}^r(-1)^{\ell-1}\sum_{1\leq j_1<\cdots<j_\ell\leq r}\bigl|A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_\ell}\bigr|=\sum_{\ell=1}^r(-1)^{\ell-1}\binom r\ell\binom{k-\ell(m-1)-1}{r-1}\,.$$
Por otro lado, el número de soluciones de $(y_1,\dots,y_s)$ $\mathbb Z^+$ $y_1+\cdots+y_s=n-k$ es igual a $\binom{n-k-1}{s-1}$. Tenga en cuenta que $s=r$ en dos instancias del problema, $s=r+1$ en un caso y $s=r-1$ en el resto de instancia. Por lo tanto, fija $r$, el número total de tuplas $(y_i)$ que puede ser trenzado con una secuencia fija $(x_1,\dots,x_r)$ es igual a
$$\begin{align*}
&\,\Biggl[\,\binom{n-k-1}{r-1}+\binom{n-k-1}{r}\Biggr]+\Biggl[\,\binom{n-k-1}{r}+\binom{n-k-1}{r+1}\Biggr]\\
=&\,\binom{n-k}{r}+\binom{n-k}{r+1}\\
=&\,\binom{n-k+1}{r+1}\,.
\end{align*}$$
En consecuencia, el número de $k$-subconjuntos de a$[n]$, con al menos $m$ consecutivos miembros es igual a
$$N(n,k,m)=\sum_{r\geq1}\binom{n-k+1}r\sum_{\ell=1}^r(-1)^{\ell-1}\binom r\ell\binom{k-\ell(m-1)-1}{r-1}$$
y el número de $k$-subconjuntos de a $[n]$ $m$ consecutivos miembros, pero sin $m+1$ consecutivos miembros será igual a $N(n,k,m)-N(n,k,m+1)$. Estoy asumiendo que cuando usted pide "exactamente" $m$ consecutivos miembros, que están permitiendo disponer de dos o más secuencias de números consecutivos (es decir, de acuerdo a la notación anterior, $x_i=m$ puede ocurrir más de un valor de $i$); de lo contrario, el problema es mucho más difícil.
ANEXO
En realidad el problema restringido no es más difícil que el de la versión anterior. Supongamos que desea crear un $k$-subconjunto de $[n]$ que contiene exactamente una carrera de $m$ números consecutivos, y la otra se ejecuta ser de longitud de menos de $m$. Deje $r\geq1$ el número de carreras de elementos consecutivos en el subconjunto. Como antes, las posibilidades para las carreras de elementos consecutivos fuera de su subconjunto contribuye (multiplicatively) $\binom{n-k+1}{r+1}$ el número de subconjuntos. Por otro lado, con $x_1,\dots,x_r$ como antes, entonces exactamente uno de los números de $x_i$ es igual a $m$. Esto puede ser hecho en $r$ maneras. Y ahora que usted está buscando soluciones en $\mathbb Z^+$ $z_1+\cdots+z_{r-1}=k-m$ ($z_k$ son simplemente las variables$x_j$$j\ne i$) $z_k<m$ por cada $k$. Este número también se puede calcular a través de la inclusión-exclusión: de hecho, queremos calcular el $\bigl|(A_1\cup\cdots\cup A_{r-1})^{\,c}\bigr|$, donde $A_k=\bigl\{(w_1,\dots,w_{r-1})\in\mathbb N^{r-1}: w_1+\cdots+w_{r-1}=k-m-(r-1), w_k\geq m-1\bigr\}$ ($w_j=z_j-1$). Razonando como en la primera parte de mi respuesta llegamos a la conclusión de que el número deseado de secuencias de $(z_1,\dots,z_{r-1})$ es igual a
$$\begin{align*}
&\,\binom{k-m-1}{r-2}-\sum_{\ell=1}^{r-1}(-1)^{\ell-1}\binom{r-1}\ell\binom{k-m-\ell(m-1)-1}{r-2}\\
=&\,\sum_{\ell=0}^{r-1}(-1)^\ell\binom{r-1}\ell\binom{k-m-\ell(m-1)-1}{r-2}\,.
\end{align*}$$
Por consiguiente, el número de $k$-subconjuntos de a $[n]$ con exactamente una carrera de $m$ consecutivos miembros y todas las otras carreras de los consecutivos de los miembros con la longitud estrictamente menor que $m$, es igual a
$$\sum_{r\geq1}r\,\binom{n-k+1}{r+1}\sum_{\ell=0}^{r-1}(-1)^\ell\binom{r-1}\ell\binom{k-m-\ell(m-1)-1}{r-2}\,.$$
