Preguntas básicas acerca de $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ con la topología producto

Question

puede alguien por favor, hágamelo saber si lo siguiente es correcto:

1) Vamos a $\mathbb{Z}$ ser los enteros dotado de la topología discreta y $\mathbb{N}$ los números naturales. Es $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ un espacio discreto con el producto topoogy?

2) No $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ contienen un compacto conjunto infinito?

3) Es $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ metrizable?

Mi trabajo:

1) creo que esto es falso, deje $A= \{0\} \times \{0\} \times ...$ Supongamos $A$ está abierto en $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$, entonces podemos encontrar un básico conjunto abierto $U=\prod_{n \in \mathbb{N}} U_{n}$ tal que $(0,0,0,...) \in U \subset A$. Por definición de topología de productos existe un número natural $J$ que si $n>J$$U_{n} = \mathbb{Z}$. Esto a su vez implica que:

$U_{1} \times U_{2} ...\times U_{J} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} ... \subset \{0\} \times \{0\} \times ...$

lo cual no es cierto ya que podemos recoger $z \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ $(0,0,...0,z,z,z...)$ es la LHS, aunque no en la RHS.

2) Podemos simplemente decir $\{0,1\}$ dotado con la discreta topolgy, a continuación, $\{0,1\}$ es compacto, ya que es finito. Pero entonces, por el teorema de Tychonoff $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ es compacto y claramente infinito.

3) creo que esta es la verdadera razón? $\mathbb{Z}$ es metrizable (e.g discretos métrica) y los contables producto de metrizable espacios es metrizable.

Answer 1

El espacio de $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$, que es, por supuesto, homeomórficos a $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, es a menudo llamado el espacio de Baire — que no debe confundirse con los espacios de la satisfacción de la categoría de Baire teorema, que también son llamados espacios de Baire. El uso de fracciones continuas uno puede mostrar que $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ es homeomórficos para el subespacio de $\mathbb{R}$ que consta de los números irracionales. Si usted cree que este último hecho, todas sus preguntas se vuelven más obviuous. Aquí están algunos comentarios sobre su enfoque:

1. Su argumento en 1) muestra que la secuencia de $x_{n} = (0,\ldots,0,1,0,\ldots)$ ($1$ aparece en la $n$th entrada) converge a $0$. Por lo tanto, $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ no es discreto, y como es un grupo topológico, que no contiene puntos aislados.

2. Sí, puede incrustar el espacio $C = \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ a $\mathbb{\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}$. Como un producto de espacios compactos, $C$ es compacto (como alternativa, muestran que $C$ es homeomórficos a la habitual ternario de Cantor conjunto). La obvia mapa de $C \to \mathbb{Z^N}$ (procedente de la inclusión ${0,1} \to \mathbb{Z}$) es continua e inyectiva, por lo tanto, un homeomorphism en su imagen, como $C$ es compacto y $\mathbb{Z^N}$ es de Hausdorff. Claramente $C$ es incontable.

3. No es difícil comprobar que los contables de producto $X = \prod X_i$ de la métrica del espacio es metrizable, por ejemplo, $\sum 2^{-i} \frac{d_i}{1+d_i}$ proporciona una compatible métrica. Si cada una de las $X_n$ es separable/completamente metrizable, entonces también lo es $X$.

Como último comentario, el espacio de Baire es un separables, completamente metrizable espacio (tales espacios son generalmente llamados polaco espacios). De hecho, es universal en el siguiente sentido: todos los demás polaco espacio es un cociente de un espacio de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$. Esto, junto con el hecho de que uno puede codificar una base de open ajusta cómodamente el uso de rutas de acceso en el árbol de $\omega^{\lt\omega}$ hace que el espacio de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ extremadamente importante herramienta en el descriptivo de la teoría de conjuntos. Un muy buen libro sobre todo lo que estoy afirmando aquí y mucho más es Kechris del Clásico descriptivo de la teoría de conjuntos, lo que yo recomiendo de todo corazón.