Esto se discute en $\S 15.7$ de mi álgebra conmutativa notas. (Como digo, el debate se ha tomado directamente de Reid del libro).
La clave aquí es el de la Correspondencia Teorema de los ideales en un anillo cociente. El ideal de $\mathcal{P}$ $B[t]$ tira de nuevo a $\mathfrak{p} = \mathcal{P} \cap B$, y suena como que están de acuerdo con el argumento de que $\mathfrak{p}$ es un ideal maximal en el PID $B$. Así, por correspondencia, podemos ver $\mathcal{P}$ como un ideal en el anillo cociente $B[t]/\mathfrak{p} B[t] \cong (B/\mathfrak{p})[t]$. Desde $\mathfrak{p}$ es máxima, $B/\mathfrak{p}$ es un campo, y por lo tanto $S := (B/\mathfrak{p})[t]$ es un polinomio de anillo en una variable más de un campo, así que de nuevo un PID. El primer ideal $\mathcal{P}$ fue construido para contener adecuadamente $\mathfrak{p}$, por lo que corresponde a un valor distinto de cero el primer ideal en el PID $S$...por lo que es maximal. En virtud de la Correspondencia entre los ideales de $R/I$ e ideales de $R$ contiene $I$, la máxima ideales que corresponden a la máxima ideales, y por lo tanto $\mathcal{P}$ es en sí mismo un ideal maximal de a $B[t]$.
Para responder a su segunda pregunta: de ninguna manera es cierto en general. Supongamos, por ejemplo, que $A$ es un campo y $\mathcal{P} = 0 \subset A[t]$. Este es un nonmaximal ideal de $A[t]$, lo que atrae de nuevo a un ideal maximal de a $A$. Va alrededor de la otra forma es más prometedora: si $A$ es un Jacobson anillo , a continuación, cualquier ideal maximal de a $A[t]$ tira de nuevo a un ideal maximal de a $A$ (ver $\S 12$ de mis notas sobre este material). Un PID que no es un campo es un Jacobson anillo fib tiene un número infinito de números primos, por lo que ambos casos son posibles aquí. Tenga en cuenta que el Ejercicio al final de la $\S 15.7$ en mis notas es abordar la dicotomía entre Jacobson y no Jacobson PIDs.
