desigualdad de serie alternante de la suma

Question

Estoy atascado en demostrar la desigualdad en

$LHS:=\sum_{k=1}^{\infty}(-\lambda)^k\prod_{i=1}^k \left(1+\frac{\alpha}{n+i}\right)\geq \sum_{k=1}^{\infty}(-\lambda)^k\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^k=\frac{-\lambda(\alpha+n)}{n+\lambda(\alpha+n)}:=RHS$

donde $\lambda, \alpha, n\geq 0$, e $\lambda\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)<1$ que asegura la convergencia de RHS. Si es necesario, uno puede asumir $2\alpha$ es un número entero.

Obviamente, LHS=RHS si $\alpha=0$ o $n\rightarrow\infty$. Numérico de las evaluaciones indican (sin pruebas):

• La desigualdad es válida, también si $n$ en el lado derecho se sustituye por $n+\frac{1}{2}$
• La diferencia LHS-RHS aumenta monótonamente en $a$ y disminuye monótonamente en $n$

De fondo (no hay necesidad de leer esto): Si $S$ es una distribución Gamma con forma de $\alpha$ y la escala de la $\lambda$, e $n$ un entero par, entonces $LHS = \frac{1}{x_n}\sum_{k=n+1}^{\infty}x_k$ donde $x_k = \frac{E[(-S)^k]}{k!} = \frac{(-\lambda)^k\Gamma(\alpha+k)}{k!\Gamma(\alpha)}$. Por lo tanto, el lado izquierdo es la escala resto al $\sum_{k=0}^{\infty}x_k=E[\exp(-S)]=\frac{\alpha\lambda}{(1+\lambda)^{\alpha+1}}$ se trunca después de $n$ términos.

Answer 1

La desigualdad que se sugieren en el comentario: $_2F_1(n+\alpha,1;n;-\lambda)\geq\frac{1}{1+\lambda(1+\alpha/n)}$ no es cierto. Tomar el $n=2, a=1,\lambda=-0.1$. Entonces el $_2F_1(n+\alpha,1;n;-\lambda)=105/121$. En el otro mano $1/(1+\lambda(1+\alpha/n))=20/23$.

Está claro que $20/23>105/121$ y por lo tanto no se tiene la desigualdad.

Por entonces otro podría tomar los dos primeros términos de la serie de representaciones de la hypergometric la función y ver muy fácilmente que: _2F_1(n+\alpha,1;n;-\lambda)\geq1-\lambda(1+\alpha/n)