álgebra lineal a través de una división del anillo de frente sobre un campo

Question

Cuando yo estaba estudiando álgebra lineal en el primer año, de lo que recuerdo, espacios vectoriales siempre fueron definidos sobre un campo, que era en cada ejemplo concreto igual a $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.

En Álgebra Asociativa curso, se mencionan a veces (cuando se habla de $R$-módulos) que si $R$ es un anillo de división, todo se vuelve trivial y conocido de álgebra lineal.

Durante el verano, creo que lo voy a revisar mis apuntes de álgebra lineal, escribir en tex, y tratan de probar tanto como sea posible en una configuración general.

Hay teoremas de álgebra lineal, que mantenga para espacios vectoriales sobre un campo y no a través de una división del anillo? Cuánto álgebra lineal se puede hacer a través de una división del anillo?

También, ¿cuáles son algunos ejemplos de división de los anillos, que no son campos? $\mathbb{H}$ es el único que viene a la mente. Sé que no hay ninguna finito (Wedderburn). Por supuesto, estoy buscando un buen...

Answer 1

En mi experiencia, cuando se trabaja a través de una división del anillo de $D$, lo principal que tienes a tener cuidado es la distinción entre el$D$$D^{op}$.

E. g. si $F$ es un campo, entonces $End_F(F) = F$ ($F$ es el anillo de $F$-lineal endomorphisms de sí mismo, sólo a través de la multiplicación), y, por tanto,$End(F^n) = M_n(F)$; y este último isomorfismo es lo que une a las matrices y la teoría de las transformaciones lineales.

Pero, para un general de división del anillo de $D$, la acción de la $D$ por la izquierda de la multiplicación en sí no es $D$-lineal, si $D$ no es conmutativa. En su lugar, la acción de la $D^{op}$ $D$ a través de derecho de la multiplicación es $D$-lineal, y así nos encontramos con que $End_D(D) = D^{op}$, y que, por ende, $End_D(D^n) = M_n(D^{op}).$

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Como ejemplos de álgebras de división, que proceden de campos no triviales Brauer grupos, aunque esto no ayuda especialmente con ejemplos concretos.

Una forma estándar para la construcción de ejemplos de central simple álgebra sobre un campo $F$ es a través de un cruzado del producto. (Por desgracia, no parece ser una entrada en la wikipedia sobre este tema).

Lo que tienes que hacer es tomar un elemento $a\in F^{\times}/(F^{\times})^n$, y una extensión cíclica $K/F$, con grupo de Galois generado por un elemento $\sigma$ de orden de $n$, y, a continuación, definir un grado $n^2$ central simple álgebra $A$ $F$ de la siguiente manera:

$A$ se obtiene a partir de a $K$ colindando un no-trabajo, elemento no nulo $x$, que satisface las condiciones

1. $x k x^{-1} = \sigma(k)$ todos los $k \in K$, y
2. $x^n = a$.

Esto a veces produce la división de álgebras.

E. g. si tomamos $F = \mathbb R$, $K = \mathbb C$, $a = -1$, y $\sigma =$ complejo de la conjugación y, a continuación,$A$$\mathbb H$, los cuaterniones de Hamilton.

E. g. si tomamos $F = \mathbb Q_p$ ($p$- ádico números para algunos prime $p$), tomamos $K =$ el único unramified extensión de $\mathbb Q_p$ grado $n$, tome $\sigma$ a ser el Frobenius automorphism de $K$, y tome $a = p^i$ algunos $i \in \{1,\ldots,n-1\}$ coprime a $n$, entonces tenemos una central división simple álgebra $\mathbb Q_p$, lo que se llama la división de álgebra $\mathbb Q_p$ de invariantes $i/n$ (o quizás $-i/n$, dependiendo de sus convenciones).

E. g. si tomamos $F = \mathbb Q$, $K =$ la única cúbicos subextension de $\mathbb Q$$\mathbb Q(\zeta_7)$, e $a = 2$, y luego vamos a conseguir una central de simple división de álgebra del grado $9$$\mathbb Q$. (Para ver que realmente es una división de álgebra, se puede extender escalares a $\mathbb Q_2$, donde se convierte en un caso especial de la anterior construcción.)

Ver Jyrki Lahtonen la respuesta a esta pregunta, así como Jyrki la respuesta aquí, para algunos de los ejemplos más detallados de esta construcción. (Tenga en cuenta que una condición clave para la obtención de una división de álgebra es que el elemento $a$ no ser la norma de la extensión de $K$.)

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Agregado: Como el OP observaciones en un comentario más abajo, no parece ser tan fácil de encontrar no-conmutativa de la división de los anillos. En primer lugar, tal vez esto no debería ser tan sorprendente, ya que había una brecha (siglos!) entre el descubrimiento de los números complejos y Hamilton y el descubrimiento de los cuaterniones, lo que sugiere que este último no es tan fácil de encontrar.

En segundo lugar, una manera fácil de hacer interesante pero manejable no conmutativa anillos es formar grupo de anillos no conmutativos grupos finitos, y si usted hace esto sobre, por ejemplo,$\mathbb Q$, se pueden encontrar interesantes de la división de los anillos dentro de ellos. El único problema con esto es que un anillo de grupo de un no-trivial grupo nunca es en sí mismo un anillo de división; deberá utilizar Artin--Wedderburn la teoría a la que se rompen en un producto de la matriz de anillos sobre la división de los anillos, y por lo interesante de la división de anillos que se presentan en este camino se encuentran un poco por debajo de la superficie.

Answer 2

Permítanme citar un párrafo pertinente en el artículo de Wikipedia sobre "la División de los anillos":

Mucho de álgebra lineal puede ser formulado, y sigue siendo correcta, para (a la izquierda) los módulos a través de la división de los anillos en lugar de espacios vectoriales sobre los campos. Cada módulo a través de una división de anillo de base; lineal entre los mapas finito-dimensional de los módulos a través de un división de anillo puede ser descrito por matrices, y la eliminación Gaussiana el algoritmo sigue siendo aplicable. Diferencias entre el álgebra lineal sobre los campos y el sesgo de los campos de producirse siempre que el orden de los factores en un asuntos de productos. Por ejemplo, la la prueba de que la columna de rango de una matriz más de un campo es igual a su rango fila los rendimientos de las matrices sobre la división anillos sólo que la columna de la izquierda de rango es igual a su derecha de la fila de clasificación: no sentido hablar de la clasificación de una matriz sobre un anillo de división.

Espero que esto ayude!

Answer 3

Los demás se han descrito las diferencias básicas. Desde que pidió razonablemente niza ejemplos permítame que le dé la siguiente. Vamos $F=\mathbf{Q}(i)$, $E=F(\sqrt5)$ y $\sigma$ ser el no-trivial elemento de $Gal(E/F)$ determinado por $\sigma(i)=i, \sigma(\sqrt5)=-\sqrt5$. A continuación, el conjunto de matrices de la forma $$Un(x_0,x_1)=\left(\begin{array}{rr} x_0&\sigma(x_1)\\ ix_1&\sigma(x_0) \end{array}\right),$$ donde$x_0$$x_1$$E$, es una división de álgebra. Es fácil ver que es cerrado bajo la multiplicación. Siempre que $(x_0,x_1)\neq(0,0)$ el determinante de a $A(x_0,x_1)\neq0$. Esto es más fácil ver de la siguiente manera: $\det A(x_0,x_1)=N(x_0)-iN(x_1)$ donde $N$ es la relativa norma mapa de $N:E\rightarrow F, x\mapsto x\sigma(x)$. Para el factor determinante a desaparecer, debemos tener $i=N(x_0/x_1)$ por el multiplicativity de la norma. Pero un 5-ádico de estudio de esta ecuación muestra que $i$ no pertenece a la imagen de la norma mapa. A partir de lo anterior, podemos ver también que $\det A\in F$, por lo que la costumbre de la fórmula para la inversa de una matriz 2x2 muestra que $A(x_0,x_1)$ tiene una inversa de la misma forma.

En el lenguaje de Matt E a responder a esta división de álgebra representa un elemento del grupo de Brauer $Br(F)$. Es de orden dos. Para los iniciados diré que su no-trivial de Hasse invariantes se encuentran por encima de los números primos $2+i$$2-i$.

Esta álgebra (y otros cíclica de la división de álgebras) han encontrado su camino a multiantenna las comunicaciones de radio. Los descubridores lo llaman el código de Oro. Si mal no recuerdo este es el código de la hyperWLAN estándar, pero yo no confío en mi memoria 100% aquí.

Otra división de álgebra que, razonablemente, a menudo se manifiesta en el entramado de construcciones (ver Conway & Sloane) es el anillo de Icosians. Realmente es una subalgebra de la habitual cuaterniones de Hamilton, donde, en lugar de $\mathbf{R}$ restringimos las coordenadas para el campo $\mathbf{Q}(\sqrt5)$. El resultado de álgebra tiene su no-trivial de Hasse invariantes sólo en los infinitos lugares, por lo que su discriminante es pequeño, y por lo tanto está destinado a producir densa celosías y tal.

Answer 4

Cualquier cosa que involucre general homothecies (múltiplos escalares de la identidad vista como operadores lineales), o multi-linealidad (en particular determinantes) no tendrán que pasar por encima de la división de los anillos (o tal vez sólo en algunos algunos muy debilitado; por ejemplo homothecies por central escalares pueden ser considerados). Cualquier cosa que involucre valores propios y subespacios propios cae dentro de esta categoría (un espacio propio es un subespacio donde un operador lineal actúa como un homothecy). Como un ejemplo de un teorema que no estará disponible, el de Cayley-Hamilton teorema (de hecho el polinomio característico de una finito-dimensional lineal operador a través de una división de anillo no está definido aún).