¿Cuál es la probabilidad de que $7$ ¿se eligen las cartas y no falta ningún palo?

Question

Las cartas se extraen una a una de una baraja normal ( $13$ tarjetas para cada uno de los $4$ trajes). Si $7$ cartas, ¿cuál es la probabilidad de que no falte ningún palo? falte?

Ok, así que probé el enfoque en el que elijo el $1$ traje de $4$ y entonces no sé qué hacer después. No sé cómo se supone que debo organizar las cartas de una manera tan aleatoria, y encontré el total que es obvio, $52$ elija $7$ .

Answer 1

Hay $4$ condiciones, una por cada traje que deba incluirse. El número de sorteos (no ordenados) que violan $k$ condiciones particulares es $\binom{13(4-k)}7$ por lo que por inclusión-exclusión la probabilidad deseada es

\begin{align} \binom{52}7^{-1}\sum_{k=0}^3(-1)^k\binom4k\binom{13(4-k)}7 &= \binom{52}7^{-1}\left(\binom{52}7-4\binom{39}7+6\binom{26}7-4\binom{13}7\right) \\ &= \frac{63713}{111860} \\ &\approx57\%\;. \end{align}

Answer 2

Obsérvese que la función generadora de estas cartas viene dada por

$$(A_1+A_2+\cdots+A_{13})(X_1+X_2+X_3+X_4).$$

Se deduce por el Teorema de Enumeración de Polya (operador de conjuntos) que la función generadora de siete cartas que se eligen de éstas es

$$Z(P_7)((A_1+A_2+\cdots+A_{13})(X_1+X_2+X_3+X_4))$$

donde $Z(P_7)$ es el índice de ciclo del operador de conjunto que actúa sobre siete ranuras.

Ahora, utilizando la inclusión-exclusión para eliminar aquellos términos en los que faltan algunos trajes faltan obtenemos

$$\sum_{S\subseteq X} (-1)^{|S|} \left.Z(P_7)((A_1+A_2+\cdots+A_{13})(X_1+X_2+X_3+X_4))\right|_{S=0}.$$

La regla de sustitución para el índice de ciclo dice que utilizamos

$$a_d = (A_1^d+A_2^d+\cdots+A_{13}^d)(X_1^d+X_2^d+X_3^d+X_4^d).$$

Esto da como resultado

$$a_d = 13 \times (4-|S|).$$

De este modo, obtenemos

$$\sum_{k=0}^4 {4\choose k} (-1)^k Z(P_7)_{a_d = 13(4-k)}.$$

El índice del ciclo en cuestión es

$$Z(P_7) = {\frac {{a_{{1}}}^{7}}{5040}}-{\frac {{a_{{1}}}^{5}a_{{2}}}{ 240}}+{\frac {{a_{{1}}}^{4}a_{{3}}}{72}}+1/48\,{a_{{1}}}^{3}{a _{{2}}}^{2}\\ -1/24\,{a_{{1}}}^{3}a_{{4}}-1/12\,{a_{{1}}}^{2}a_{{ 2}}a_{{3}}-1/48\,a_{{1}}{a_{{2}}}^{3}+1/10\,{a_{{1}}}^{2}a_{{5 }}\\+1/8\,a_{{1}}a_{{2}}a_{{4}} +1/18\,a_{{1}}{a_{{3}}}^{2}+1/24 \,{a_{{2}}}^{2}a_{{3}}-1/6\,a_{{1}}a_{{6}}\\ -1/10\,a_{{2}}a_{{5} }-1/12\,a_{{3}}a_{{4}}+1/7\,a_{{7}}.$$

Obtenemos $76200748$ casos favorables para una probabilidad de

$$76200748 \times {52\choose 7}^{-1} = {\frac {63713}{111860}} \approx 0.5695780440.$$

El código de Maple para esto era el siguiente.

pet\_cycleind\_set :=
proc(n)
local p, s;
option remember;

    if n=0 then return 1; fi;

    expand(1/n\*add((-1)^(l-1)\*a\[l\]\*
                   pet\_cycleind\_set(n-l), l=1..n));
end;

X :=
proc()
    option remember;
    local k, res, ind, subsl;

    ind := pet\_cycleind\_set(7);

    res := 0;

    for k from 0 to 4 do
        subsl := \[seq(a\[d\]=13\*(4-k), d=1..7)\];

        res := res +
        binomial(4,k)\*(-1)^k\*subs(subsl, ind);
    od;

    res;
end;

El operador de la serie se documentó en este MSE enlace y el argumento de inclusión-exclusión en este Enlace MSE II .

Parece que este problema es lo suficientemente simple como para ser tratado por enumeración total. El siguiente Perl script hace esto, usando aproximadamente veinticinco minutos de tiempo de cálculo para producir la respuesta $$76200748.$$

#! /usr/bin/perl -w
#

sub choose {
    my ($src, $sofar, $fref) = @\_;

    my $sel = scalar(@$sofar);

    if($sel == 7){
        my %suits = ();

        @suits{ map { $src->\[$\_\]->\[0\] }
                @$sofar } = (1) x 7;

        $$fref++ if scalar(keys(%suits)) == 4;
        return;
    }

    my $base = 0;
    $base = $sofar->\[-1\] + 1 if $sel > 0;

    for(my $idx = $base; $idx < 52; $idx++){
        push @$sofar, $idx;
        choose($src, $sofar, $fref);
        pop @$sofar;
    }

    return;
}

MAIN : {
    $| = 1;

    my $cards = \[\];

    for(my $suit = 1; $suit <= 4; $suit++){
        for(my $card = 1; $card <= 13; $card++){
            push @$cards, \[$suit, $card\];
        }
    }

    my $favorable = 0;
    choose($cards, \[\], \\$favorable);

    print "$favorable\\n";
}

Answer 3

Calcule el número de formas de elegir 7 cartas de diferentes palos sobre el número total de formas de elegir 7 cartas de 52 y piense en las distintas formas de hacerlo. Por ejemplo, digamos que sacas 4 cartas de un palo y luego 3 de palos únicos. Entonces tiene ${4 \choose 1}{13 \choose 4}13^3$ . El ${4 \choose 1}$ es porque hay 4 trajes para los que esto puede ocurrir, ${13 \choose 4}$ es la forma de elegir 4 cartas de las 13 por palo, y la $13^3$ cuenta las formas de elegir una carta de los restantes conjuntos de 13 por palo. Ahora repita este patrón, pero tenga en cuenta cuántas cartas diferentes pueden ser elegidas para que su condición sea verdadera. Así que si se eligen 3 cartas de un palo, y luego las 4 restantes de palos diferentes, tienes ${4 \choose 1}{13 \choose 3}{13 \choose 2}(13^2)$ y ${4 \choose 1}{13 \choose 2}^3(13)$ . Sumando todo esto y poniéndolo sobre el número de formas de seleccionar 7 cartas de 52. Así se obtiene la probabilidad $\frac{{4 \choose 1}{13 \choose 4}13^3 + {4 \choose 1}{13 \choose 3}{13 \choose 2}(13^2) + {4 \choose 1}{13 \choose 2}^3(13)}{{52 \choose 7}}$ .