Hay un montón de preguntas aquí. Permítanme abordar la Pregunta 3 de la primera:
Deje $f$ ser una función en algunos de $A$. Cuando decimos que $f$ es definido en $A$, podemos decir que el $f(x)$ existe para cada $x$$A$. Sin embargo, sólo porque $f$ se define en $A$ no significa que es continua en a $A$: puede ser continuo, o puede no ser. El libro de texto de la intuición de la continuidad es que $f$ es continua en a $A$ si podemos dibujar su gráfica sin levantar nuestro lápiz.
Nota, sin embargo, que hablar de continuidad en un conjunto, nuestra función ha de ser definido por ahí.
Ahora campos vectoriales son realmente un tipo especial de función (que las entradas de los puntos y salidas de vectores), así que todo esto se aplica a campos vectoriales, también.
Antes de abordar las Preguntas 1 y 2, vamos a distinguir entre un par de conceptos.
Deje $F$ ser un campo vectorial definido, continua, y tener derivadas parciales continuas en una región $U$$\mathbb{R}^3$. Considere las siguientes cuatro propiedades que $F$ puede tener:
(1) (Ruta de la independencia.) La integral de línea de $F$ entre dos puntos no depende del camino elegido. Es decir, si $C_1$ $C_2$ son caminos entre el$a$$b$, $$\int_{C_1} F\cdot dr = \int_{C_2} F\cdot dr.$$
(2) (Integrales de bucles cerrados son cero.) La integral de línea de $F$ alrededor de cualquier curva cerrada es cero. Es decir, si $C$ es una curva cerrada, a continuación,$\int_C F\cdot dr = 0$.
(3) (Exactitud.) Existe una función escalar $f$ con derivadas parciales continuas tales que $F = \nabla f$.
(4) (Closedness.) $\text{curl }F = 0$.
Hay tres hechos importantes acerca de estas cuatro propiedades:
Hecho 1: Propiedades (1), (2) y (3) son equivalentes.
Es decir, si $F$ satisface cualquiera de (1), (2) o (3), entonces satisface los otros dos. Cualquiera de estas tres propiedades pueden ser tomados como la definición de conservativity.
Hecho 2: Si $F$ es conservador (es decir, satisface (1), (2) o (3)), entonces también se cumple la propiedad (4).
Prueba: Si $F$ satisface (3), dicen, a continuación,$\text{curl } F = \text{curl }\nabla f = 0$.
Hecho 3: Si además de la $F$ está definido en todos los de $\mathbb{R}^3$ y tiene derivadas parciales continuas, entonces la propiedad (4) implica a los tres primeros.
En otras palabras, si $F$ está definido en todos los de $\mathbb{R}^3$ (y tiene derivadas parciales continuas), todos los cuatro conceptos coinciden.
Sin embargo: Como yoyo se menciona en los comentarios, la propiedad (4) no es, en general, equivalente a conservativity. El ejemplo clásico es el campo de vectores en $\mathbb{R}^2 \setminus (0,0)$ dada por
$$F(x,y) = \left(\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{-x}{x^2 + y^2} \right).$$
Este campo vectorial tiene la curiosa propiedad de que $\text{curl }F = 0$, sin embargo, no satisface a ninguna de las tres (o equivalente) conservativity propiedades. La razón de esto es que el $F$ no está definida en todos los de $\mathbb{R}^2$ porque es definida en el origen $(0,0)$.
Hay ejemplos similares para$\mathbb{R}^3 \setminus (0,0)$, pero me parece que no puede venir con el ahora mismo.
Así que ahora podemos abordar la Pregunta 2. Como he mencionado anteriormente, conservativity es no es lo mismo que decir que $\text{curl F} = 0$. Sin embargo, si $F$ está definido en todos los de $\mathbb{R}^3$, entonces sí, coinciden.
Entonces, ¿por qué es $\text{curl }F = 0$ una buena propiedad para que tenga? Bien, la respuesta fácil es que: (a) es una sencilla propiedad para comprobar, y (b) en el caso de que $F$ está definido en todos los de $\mathbb{R}^3$, entonces se obtienen los tres (equivalente) conservativity condiciones, que espero que usted puede ver son cosas buenas que tienen.
La intuición física detrás de conservativity es que los modelos de las fuerzas conservadoras como la gravedad. En este esquema, $F$ representaría la fuerza y $\int_C F\cdot dr$ representaría el trabajo (energía) de la aplicación de $F$ a algún objeto a través de una ruta de $C$. Es intuitivamente claro que el trabajo realizado por la gravedad (decir) a través de cualquier circuito cerrado es cero: la energía potencial no ha cambiado de ninguna manera.
Por último, permítanme abordar la Pregunta 1. Técnicamente hablando, para hablar de conservativity, tienes razón, que en realidad no necesitan las derivadas parciales de $F$ a de ser continuo, o incluso de existir. Es decir, podemos hablar de las propiedades (1), (2) y (3) anteriores, sin la suposición de que las derivadas parciales de $F$ existen.
Sin embargo, para hablar acerca de la propiedad (4), donde tomamos el rizo, tenemos que decir que las derivadas parciales de $F$ existen. ¿Tenemos que suponer, además, que las derivadas parciales son continuas? Mi conjetura es que probablemente no (por favor alguien me corrija si estoy equivocado). Pero suponiendo que las derivadas parciales son continuas es sin duda una buena supuesto simplificar tener.
