¿Por qué podemos intercambiar números cuando se trabaja con modulo expresiones?

Question

Por favor, disculpe si la respuesta es evidente, porque soy un principiante.

¿Por qué podemos intercambiar números telefónicos cuando se trabaja con modulo expresiones?

Por ejemplo:

$$4^2 \equiv (-1)^2 \pmod{5}$$

Usted puede decir que el reemplazo de entre $4$ $-1$ se justifica porque:

$$4\equiv -1 \pmod{5}$$

Entiendo que la igualdad, cuando se divide $4$ $5$ obtiene un residuo $4$ y si restamos $5$ desde que llegamos $-1$. Pero todavía no entiendo por qué se puede sustituir $4$$-1$.

Además si $a\equiv c \pmod{b}$ somos justificados en la sustitución de $a$ $c$ en cada ocasión?

Answer 1

Se necesita la función que se ocupan de preservar la multiplicación. En lenguaje más elaborado, que significa que es un homomorphism de$(\mathbb{Z},\cdot)$$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\cdot)$. En un lenguaje más sencillo, lo que significa que si $x,y$ son enteros, a continuación,$f(x \cdot y)=[x] \cdot [y]$, donde el primer $\cdot$ es de enteros multiplicación, $[z]$ denota la clase de equivalencia de a $z$ mod $n$, y el segundo $\cdot$ representa la multiplicación de mod $n$. (Tenga en cuenta que a menudo nos representan a $[z]$ por el resto de $z$ después de la división por $n$.)

Por ejemplo, $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},f(x)=[x^2]$ es un homomorphism, por lo $a^2 \equiv b^2 \mod n$ siempre $a \equiv b \mod n$. (Aquí se $[y]$ denota la clase de equivalencia de a $y$ mod $n$.) Por otro lado, a pesar de $4 \equiv 9 \mod 5$, $2^4$ y $2^9$ no son equivalentes mod 5.