Para definir una medida, ¿basta con definir cómo integrar la función continua?

Question

Permítanme aclarar mi pregunta. Quiero definir una medida $\mu$ en un espacio $X$ . Pero en lugar de decirle qué valor asigno para algún subconjunto de $X$ (conjuntos medibles que forman un $\sigma$ -álgebra), le digo que para cada $f$ continua, lo que $\int_X f(x)d\mu (x)$ es.

Entonces, ¿esta medida está determinada de forma única? Sé que si te digo cómo integrar todas las funciones medibles, entonces esta medida es, por supuesto, unívocamente determinada. Porque integrar funciones características te dará la medida de ese conjunto respectivo. Pero, ¿es también cierto si sólo defino la integración con funciones continuas?

Answer 1

En general, esto es falso. He aquí algunos ejemplos para reflexionar:

1. Si el $\sigma$ -álgebra en $X$ no es el Borel $\sigma$ -álgebra, generalmente no hay esperanza. (¿Y si $X$ tiene la topología trivial pero el $\sigma$ -no es trivial). Por lo tanto, debes limitar tu atención a las medidas de Borel.

2. Tome $X = \{a,b\}$ con la topología $\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}\}$ . El Borel $\sigma$ -es el álgebra $2^X$ pero las únicas funciones continuas $f : X \to \mathbb{R}$ son constantes, por lo que $\mu_1 = \delta_a$ y $\mu_2 = 2 \delta_a - \delta_b$ coinciden en todas las funciones continuas. Por lo tanto, es probable que quieras un espacio de Hausdorff.

3. Tome $X = \mathbb{R}$ . Sea $\mu$ ser medida de conteo y $\nu = 2\mu$ . Así que probablemente quieras mirar $\sigma$ -medidas definidas.

4. Como mencioné en el comentario anterior, en $X = \omega_1 + 1$ (que es Hausdorff compacto), se pueden encontrar dos medidas finitas distintas que coinciden en todas las funciones continuas.

Sin embargo, aquí hay un resultado positivo.

Propuesta. Dejemos que $\mu, \nu$ sea finito Medidas de Borel en un espacio métrico $(X,d)$ . Si $\int f d\mu = \int f d\nu$ para todos los continuos acotados $f$ entonces $\mu = \nu$ .

Prueba . Sea $E$ sea un conjunto cerrado, y sea $f_n(x) = \max\{1 - n d(x,E), 0\}$ . Puede comprobar que $f_n$ es continua y $f_n \downarrow 1_E$ como $n \to \infty$ . Así que por convergencia dominada, $\mu(E) = \nu(E)$ y $\mu, \nu$ coinciden en todos los conjuntos cerrados.

Ahora aplicamos Dynkin's $\pi$ - $\lambda$ teorema . Sea $\mathcal{P}$ sea la colección de todos los conjuntos cerrados; $\mathcal{P}$ es cerrado bajo intersecciones finitas, y $\sigma(\mathcal{P})$ es el Borel $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{B}$ . Sea $\mathcal{L} = \{ A \in \mathcal{B} \colon \mu(A) = \nu(A)\}$ . Utilizando la aditividad contable, es fácil comprobar que $\mathcal{L}$ es un $\lambda$ -sistema, y acabamos de mostrar $\mathcal{P} \subset \mathcal{L}$ . Así que por el teorema de Dynkin, $\mathcal{B} = \sigma(\mathcal{P}) \subset \mathcal{L}$ es decir, que $\mu,\nu$ coinciden en todos los conjuntos de Borel, y por lo tanto son la misma medida.

Answer 2

Consulte el Teorema de la Representación de Riesz, por ejemplo en $\textit{Real and Complex Analysis}$ por Rudin página 40. Al menos en la forma presentada en Rudin, si $X$ es un espacio de Hausdorff localmente compacto y $\Lambda$ es una función lineal positiva sobre $C_c(X)$ las funciones continuas con soporte compacto, entonces existe una única álgebra sigma y una única medida sobre el álgebra tal que $\int_X f \ d\mu = \Lambda(f)$ para todos $f \in C_c(X)$ .