¿Cuál es la solución de Nash del problema que se presentó en "Una Mente maravillosa"?

Question

Yo estaba viendo el dicho de la película la otra noche, y empecé a pensar en la ecuación planteada por Nash en la película. Más específicamente, la que él dijo que iba a tomar algunos estudiantes de un curso de la vida para resolver (obviamente, una exageración). Sin embargo, uno no puede decir que es un problema simple.

De todos modos, aquí está

$$V = \{F:\mathbb{R^3}/X\rightarrow \mathbb{R^3} \text{ so } \hspace{1mm}\nabla \times F=0\}$$ $$W = \{F = \nabla g\}$$ $$\dim(V/W) = \; ?$$

En realidad no lo he intentado una solución de mí mismo para ser honesto, pero pensé que sería una pregunta interesante plantear. He hecho una búsqueda rápida en este sitio y Google, pero no fueron sorprendentemente pocos resultados.

En cualquier caso, tenía curiosidad por saber si alguien sabía la respuesta a un lado de la trivial.

Answer 1

Tan lejos como recordar esta es idéntico con el cálculo de de Rham cohomology de $\Bbb R^3\setminus X$. Supongo que solo tiene sentido si $\Bbb R^3\setminus X$ puede ser de alguna manera capturado como colector, que no es posible para arbitrario $X$. Para cerró $X$ el conjunto es de un colector y siguiendo el Teorema de de Rham el problema vuelve a calcular la singularidad cohomology de $\Bbb R^3\setminus X$ - i.o.w. número de agujeros en $\Bbb R^3\setminus X$. Que yo recuerde el problema sólo puede ser resuelto si una $X$ o ciertos bienes acondicionado $\Bbb R^3\setminus X$.

Espero que esta sea buena respuesta en breve.

PS: La versión 2D para $\Bbb R^2\setminus X$ es de allí.