Integre $\int\frac{x^{6}-2x^{3}}{\left(x^{3}+1\right)^{3}}dx$ .

Question

$$\int\frac{x^{6}-2x^{3}}{\left(x^{3}+1\right)^{3}}dx$$

He intentado sumar y restar 1 para obtener una expresión cuadrada con numerador como $(x^3-1)^2 -1$ pero siempre yendo a fracción parcial que obviamente es muy larga considerando el factor cúbico en denominador.

Answer 1

Sea $\displaystyle I = \int\frac{x^6-2x^3}{(x^3+1)^3}dx = \int\frac{x^6-2x^3}{x^6\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^3}dx = \int\frac{1-2x^{-3}}{\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^3}dx$

Ahora Pon $\displaystyle x+\frac{1}{x^2} = t\;,$ Entonces $\displaystyle \left(1-\frac{2}{x^3}\right)dx = dt$

Tan Integral $\displaystyle I = \int\frac{1}{t^3}dt = -\frac{1}{2t^2}+\mathcal{C} = -\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{x^2}{x^3+1}\right)^2+\mathcal{C}$