Hay que integrar $$ \int_0^2 \sqrt{4-x^2} \, dx $$
Miré la solución paso a paso de Wolfram Alpha, y lo primero que hace es que sustituye
$x = 2\sin(u)\text{ and } \,dx = 2\cos(u)\,du$
¿Cómo sabe para sustituir $2\sin(u)$ $x$?
Respuestas
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Jaepetto
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Esto es basado en el hecho de que es de la habitual ecuación paramétrica de la curva $x^2 + y^2 = R^2$ $X = R\sin t, Y = R\cos t$.
Usted quiere hacer un cambio de variables, para que el integrando se vean más simple (que es el punto del cambio de variables). Por lo que gustaría simplificar $$ \sqrt{4 - x ^ 2} $$and in particular get rid of the $\sqrt.$. So you look for a function $t$ such as $$ y (t) ^ 2 = 4-x (t) ^ 2 $$
tiene una forma simple. $$ X (t) y = 2\sin t, y (t) = 2\cos t $$ para el correcto dominio de la integración.
Jp McCarthy
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Theóphile comentario es una buena respuesta. Voy a dar a otro.
El $\sqrt{4-x^2}$ y, de hecho, cualquier cosa de la forma $\sqrt{a^2-b^2}$ --- think $\sqrt{x^2-b^2}$ o $\sqrt{a^2-x^2}$ --- o $x^2+b^2$ puede considerarse --- a través de Pitágoras --- como los lados de un ángulo recto del triángulo.
En este ejemplo, tenemos $\sqrt{2^2-x^2}=b\Rightarrow b^2+x^2=2^2$, de modo que tenemos un ángulo recto-triángulo con los lados $x$, $b=\sqrt{2^2-x^2}$ y la hipotenusa $2$.
Dibujar el triángulo. Ahora elija un ángulo $\theta$ en el triángulo de modo que usted puede escribir
$$\sec/\tan/\sin\theta=\frac{x}{2}.$$
En este caso tenemos a $\sin \theta=\frac{x}{2}$.
Ahora, con el triángulo que ha esbozado, $$\cos\theta=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\Rightarrow \sqrt{4-x^2}=2\cos\theta.$$
También podemos conseguir una manija en $dx$ no hay problema.
Cuando finalmente nos antidifferentiate, nuestra respuesta será en términos de $\theta$. Podemos encontrar cualquiera de las proporciones trigonométricas en términos de $x$ utilizando nuestro triángulo y $\theta$... bien $\theta$ es que el ángulo cuyo seno es $\frac{x}{2}$, por lo que $$\theta=\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right).$$ ... no es que se plantea en esta pregunta.
