¿Sala de ' identidad y más allá?

Question

Hay una identidad, bien conocido entre la gente que sabe este tipo de cosas, que se llama Sala de identidad del (o de Wagner identidad): para todas las opciones de $2\times 2$ matrices de más de un campo fijo $A$, $B$, $C$, tenemos $$[[A,B]^2,C]=0.$$ Here $[X,Y]=XY-YX$ es el habitual colector.

¿Esta generalizar de alguna manera a otros contextos?

N. B. es un resultado de Shoda en característica cero y de Albert y de Muckenhoupt para cualquier campo, que cada matriz de seguimiento de cero es un conmutador, por lo que la Sala de identidad nos dice que el cuadrado de un traceless $2\times 2$ matriz es central.

N. B. Si $Q$ es un álgebra de cuaterniones sobre un campo $k$, entonces no es una extensión de $K/k$ de manera tal que el resultado de la ampliación de escalares $Q_K$ $k$ $K$ $Q$es isomorfo a la $K$-álgebra $M_2(K)$ $2\times 2$ matrices. De ello se deduce fácilmente a partir de esto que la Sala de identidad sostiene también en todas las álgebras de cuaterniones sobre todos los campos.

Answer 1

Una manera de entender el Hall de la identidad es la siguiente: se dice que la función de mapeo de los dos $2\times 2$ matrices $A$, $B$ a $[A,B]^2$ toma valores en el centro de la matriz álgebra $M_2(K)$. Hay toda una teoría construida alrededor de esta idea: la de la central de polinomios.

Kaplansky preguntado (él era grande haciendo preguntas interesantes!) si no fueron el centro de polinomios para todos los tamaños de las matrices, y este problema se resolvió en el '72 por Formanek y Razmysov, quien construyó central de polinomios para todos los tamaños de $n>2$.

El libro por Procesi de los anillos con el polinomio de identidades es una buena referencia para este.