Resolución de la ecuación de onda

Question

Quiero resolver la siguiente EDP:

$$\begin{align} u_{tt}&=c^2u_{xx}-\gamma u_x, \quad 0<x<1, \quad t>0,\\ \\ u(0,t)&=u(1,t)=0, \\ u(x,t=0)&=x(1-x),\\ u_t(x,t=0)&=0. \end{align}$$

Aunque veo que la literatura tiene ejemplos con la ecuación de onda amortiguada, no tengo una explicación para la $-\gamma u_x$ término. ¿Cómo lo solucionaría?

Answer 1

Uno puede, como mencioné en el comentario anterior, hacer el problema por series de Fourier.

Uno puede sin embargo a un divertido cambio de variables para convertir la ecuación a uno que es quizás mejor estudiado.

Observamos el siguiente hecho:

$$ (c \partial_x - \frac{\gamma}{2c})(c\partial_x - \frac{\gamma}{2c}) = c^2 \partial^2_{xx} - \gamma \partial_x + \frac{\gamma}{4c^2} $$

lo que significa que su ecuación puede reescribirse como

$$ u_{tt} = (c \partial_x - \frac{\gamma}{2c})(c\partial_x - \frac{\gamma}{2c})u - \frac{\gamma}{4c^2}u $$

Ahora, tenemos que

$$ c \partial_x u - \frac{\gamma}{2c} u = c e^{\gamma x / (2c^2)} \partial_x \left( e^{- \gamma x/(2c^2)} u\right) $$

que reescribe la ecuación como

$$u_{tt} = e^{\gamma x / (2c^2)} c^2 \partial^2_{xx} \left(e^{-\gamma x /(2c^2)}u\right) - \frac{\gamma}{4c^2}u $$

---

Así que hacemos la sustitución $v(x,t) = e^{-\gamma x / (2c^2)} u(x,t)$ . La ecuación para $v$ es simplemente la siguiente Ecuación de Klein-Gordon

$$ v_{tt} = c^2 v_{xx} - \frac{\gamma}{4c^2} v $$

con las condiciones de contorno

$$ v(0,t) = v(1,t) = 0 $$

y los valores iniciales

$$ \begin{align} v_t(x,0) &= 0 \\ v(x,0) &= e^{-\gamma x / (2c^2)} x(1-x) \end{align}$$

Answer 2

Si $\gamma \neq \gamma(u)$ o incluso más sencillo, $\gamma$ es una constante, entonces tu problema se puede resolver usando separación de variables ya que la EDP es lineal. Además, las condiciones de contorno son homogéneas, al igual que la EDP.

Establecer $u(t,x) = P(x)Q(t)$ con $P\neq0, Q\neq 0$ . Introdúcelo en la ecuación para obtener

$$PQ'' = c^2 P''Q - \gamma P' Q,$$ que puede reescribirse como

$$\frac{\frac{c^2}{\gamma} P'' - P'}{P} = \frac{Q'}{\gamma Q} = \lambda, $$ donde $\lambda$ es alguna constante real, que en general puede ser cero, positiva o negativa. La ecuación escrita anteriormente te lleva a dos problemas, uno para $P(x)$ y otro para $Q(t)$ . Resolvamos el problema para $P$ (puede resolver el problema para $Q$ pero no es relevante).

Las condiciones de contorno para $P$ vienen dadas por las condiciones de contorno originales para $u$ En efecto: $P(0) = P(1) = 0$ por lo que el problema para $P$ se convierte:

$$P''- \beta P'- \beta \lambda P = 0, \quad 0 < x < 1, \quad P(0) = P(1) = 0,$$ donde $\beta = \frac{\gamma}{c^2}$ . La solución de esta ecuación depende del valor de $\lambda$ (en general será: $P(x) = Ae^{s_1x} + Be^{s_2 x}$ donde $s_i$ son las dos raíces -diferentes- de $s^2 - \beta s - \beta \lambda$ .), ya sea positivo, cero o negativo.

Resolver el llamado eigenfunciones , $P_n(x)$ y expandir la solución en términos de ellos como sigue:

$$u(t,x) = \sum^\infty_n P_n(x) Q_n(t),$$

introdúzcalo en la EDP original y resuelva para $Q_n(t)$ aplicando las condiciones iniciales prescritas.

¿Puedes seguir desde aquí?

¡Salud!