Estoy haciendo el cálculo térmico en electrónica y al tratar de que el equipo de fórmula general para el sistema equivalente de la resistencia al flujo de aire de una parte del sistema real, he terminado con este sistema de tres ecuaciones (x,y,z son desconocidos; a, b, c son positivos parámetros): $$ \frac{1}{\sqrt x} + \frac{1}{\sqrt{y+z}} = \\ \frac{1}{\sqrt y} + \frac{1}{\sqrt{x+z}} = b\\ \frac{1}{\sqrt z} + \frac{1}{\sqrt{x+y}} = c $$ A,b,c son positivos los parámetros, así como las incógnitas x, y y z. No hay ningún problema en la solución de x, y, z en solver de Excel, Matlab, u otros. El problema es con la solución analítica que puede ser útil en la solución de sistemas más complejos de forma elegante. Yo estaba tratando de hacer algunas sustituciones, pero sin mucho éxito. Así, surge la pregunta: ¿es posible en todos para resolver sistema de ecuaciones para x, y, z analíticamente?
Respuestas
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Esta es una vieja cuestión, sino para el beneficio de aquellos que van a venir a través de este y a la izquierda colgando.
Caso 1: Si $b=c$, entonces no es una solución analítica que implica un octic que los factores en cuárticas $\sqrt{2}$.
Deje $x,y,z = p^2,\;q^2,\;r^2$, y, para evitar la octic, vamos a $a=\sqrt{2}\,a$. Tenemos,
$$\begin{aligned} \frac{1}{p}+\frac{1}{\sqrt{q^2+r^2}}\;&= \sqrt{2}\,a\\ \frac{1}{q}+\frac{1}{\sqrt{p^2+r^2}}\;&= b\\ \frac{1}{r}+\frac{1}{\sqrt{p^2+q^2}}\;&= b \end{aligned}$$
y la solución,
$$p =\frac{(r+2ar^2)\sqrt{2}}{4a^2r^2-1},\quad q = r$$
y $r$ es una raíz adecuado(s) de la cuártica,
$$2 - 6 b r + b (8 a + 3 b) r^2 - 4 a b (2 a + b) r^3 + 4 a^2 b^2 r^4=0$$
Caso 2: Para general $a,b,c$, uno tiene que resolver un $32$grados de eqn. (No sé si a través de una adecuada radical de extensión que será un factor en cuárticas así.)
Este se puede convertir en un sistema de ecuaciones polinómicas.
Sea u^2 = x, v^2 = y, w^2 = z. A continuación, establezca s^2 = x+z, t^2 = x+y, r^2 = y+z. Las ecuaciones son ahora
1/u + 1/r = 1/v + 1/s = b, 1/p + 1/t = c. Claro denominadores y tenemos seis polinomios en los seis var r, s, t, u, v, w, y tres parámetros a, b, c.
Este sistema puede ser "resuelto" con el Dixon resultante en 0.9 segundos. La resultante para la u tiene el grado 32, 1105 términos, y comienza y termina
16*a^8*b^16*c^16*u^32 - 64*^10*b^14*c^16*u^32 + 96*^12*b^12*c^16*u^32 ... - 65536*a*b^8*u + 4096*c^8 - 8192*b^4*c^4 + 4096*b^8
Como otro cartel mencionado, si suponemos que a = b, a = c, b = c, el polinomio factores mucho.
Si quieres x en lugar de u, que tendrá una más fácil resultante de la computación.
