Prueba formal de $\det(I + tA) = \prod\limits_{i=1}^n (1 + t\lambda_i)$

Question

Estoy buscando una prueba formal para: $$\det(I + tA) = \prod\limits_{i=1}^n (1 + t\lambda_i).$$ Soy muy nuevo en la teoría de las matrices, por lo que les ruego que me disculpen si esto les parece elemental. Se agradece su ayuda en este asunto.

Gracias,

Editar: $A$ es una simetría $n\times n$ matriz y $\lambda_i$ son los valores propios de $A$ .

Answer 1

Esto es cierto para toda matriz cuadrada compleja. No es necesario que sea simétrica.

Desde $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, existe $P$ invertible tal que $P^{-1}AP$ es triangular superior con diagonal $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ (el Descomposición de Schur ).

Ahora $P^{-1}(I+tA)P$ es triangular superior con diagonal $(1+t\lambda_1,\ldots,1+t\lambda_n)$ .

Por tanto, la fórmula es la siguiente (recordemos que $\det(BC)=\det(CB)$ ).

Nota: cuanto más pienso en tu pregunta, más creo que la respuesta de EuYu es la correcta. Después de todo, los valores propios son las raíces del polinomio característico $p_A(\lambda)=\det(\lambda A-I)$ por definición. Así que su identidad es en realidad esencialmente trivial. Es claramente cierto para $t=0$ . Entonces, factorice $t^n$ cuando $t\neq 0$ y se reduce a $p_A(-1/t)=\prod(-1/t-\lambda_i)$ lo cual es cierto por definición de los valores propios (cuando $p_A$ divisiones).

Answer 2

Sobre los números complejos, cada matriz $A$ es equivalente a una matriz $M$ en un Forma normal de Jordania que es una matriz casi diagonal y cuyos elementos diagonales son sólo los valores propios $\lambda_i$ de $A$ . Que sea equivalente significa que existe una matriz invertible $B$ (sus columnas contienen las coordenadas de los vectores propios correspondientes) tal que $$A=BMB^{-1}$$ Entonces $\det A=1/\det B\cdot\det M\cdot \det B=\det M=\prod_i(\lambda_i)$ .

Ahora usa eso $I+tA=B(I+tM)B^{-1}$ .

Answer 3

Dado que utilizas el término simétrico, voy a suponer que la matriz en cuestión es real. No hay necesidad real de invocar la triangularizabilidad ni ninguna maquinaria. Simplemente trabajaremos con las propiedades básicas de los determinantes.

Esto es válido en general para cualquier matriz real con $n$ valores propios reales, una matriz simétrica es simplemente una matriz que resulta satisfacer este criterio.

Supongamos que $A$ es $n\times n$ y que $p(t) = \det(tI - A)$ denotan el polinomio característico de $A$ . Por supuesto, $p(t)$ se divide como $$p(t) = \prod_{i=1}^n(t - \lambda_i)$$ Podemos manipular el determinante como $$\det(tI-A) = t^n\det\left(I-\frac{1}{t}A\right)$$ Dejando ahora $s = \frac{1}{t}$ , fíjese que $$\det(I - sA) = s^{n}p(s^{-1})=s^n\prod_{i=1}^n\left(\frac{1}{s} - \lambda_i\right)$$ que al dividir el $s^n$ sobre los términos del producto, se convierte en $$\det(I - sA)=\prod_{i=1}^n\left(1 - s\lambda_i\right)$$