¿Cómo calculo las probabilidades de un conjunto dado de resultados dados antes otro dado conjunto?

Question

De dados de probabilidades de parecer simple a primera vista, pero nunca he tomado un Cálculo basado en las estadísticas del curso o de la teoría del juego, y creo que puede necesitar a fin de resolver algunas de las cosas que estoy tratando de resolver. Puedo descifrar las probabilidades en algunos de los más sencillos de los escenarios, pero cuando se trata de calcular las probabilidades de una serie de dados de eventos con condiciones variables... me pierdo en los números. He probado diferentes, aparentemente métodos de fiar... sólo para volver a muy diferentes figuras cada vez. Juego de dados de Casino las mesas tienen una gran variedad de apuestas y las apuestas de cobertura que usted puede hacer. Algunas de las apuestas que usted hace puede sentarse en la mesa durante media hora o más, a través de decenas y decenas de lanzamientos de dados, a la espera de una resolución. Es técnicamente posible (en teoría, no un hecho) de que algunas de estas apuestas podría continuar para siempre sin ser resuelto. Me gustaría un decente enfoque para calcular estas probabilidades a mí mismo... esperemos que mediante la presentación de un escenario en particular, puedo recoger suficiente tid-bits a partir de sus respuestas a juntar las piezas de la metodología:

1. Estamos lanzando dos de seis caras de los dados en un momento.
2. A cada lado de cada dado tiene la misma probabilidad de cualquier tiro.
3. Existe una lista de seguimiento con los números: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12. (Nota: 7 no está en esta lista).
4. Cuando los dados están echados y su total es un número distinto de 7, el número es tachada de la lista de seguimiento y de tirar los dados de nuevo.
5. Cuando los dados están echados y su total es un número que ya ha sido tachada de la lista de seguimiento, de tirar los dados de nuevo.
6. En cualquier momento, si los dados son lanzados y su total es de 7, la serie se resuelve como una pérdida.
7. En cualquier momento, si todos los números son tachados de la lista de seguimiento, la serie se ha resuelto como un triunfo.

¿Cuál es la probabilidad de cruce de los diez números de la lista (de ganar) antes de lanzar un 7 (de perder)?

Este es el"Todo o Nada" bono de apuesta recientemente popular en los casinos. Se paga 175 a 1. También hay "Pequeños" y "Alto" bono de apuestas que pagar 34 a 1 para lanzar 2 a 6 o 8 al 12, respectivamente, antes de tirar la 7. También hay un "Fuego" y "la Apuesta" me gustaría que se rompen, pero las reglas son muy diferentes. Se necesitará un nuevo post si no puedo entresacar algunas ideas nuevas a partir de las respuestas aquí... por Favor, tenga en mente, estoy queriendo saber cómo calcular condicional dados de probabilidad (donde instantánea probabilidad turnos dependiendo de su progresión desde el tiro a tiro), no solo conocer las probabilidades en este caso en particular. He tomado cursos de matemáticas través de CalcIII, por lo que puedo entender debates en los que participaron los límites y la suma. De nuevo, nunca he toma de la estadística, probabilidad, o la teoría de juegos. Lo siento por el largo post, sé que hablo demasiado....

Answer 1

Usted puede calcular la probabilidad de exactamente si realmente quieres (ver más abajo), pero probablemente no vale la pena. En su lugar, se puede estimar que el contenido de su corazón por la simulación – sólo tiene que ejecutar el juego muchas veces, y ver cómo a menudo lo que gana.

Con el fin de calcular la probabilidad de que exactamente, el primer paso es encontrar una forma económica para describir el estado del juego. Ingenuamente, hay $2^{10} = 1024$ estados posibles, pero podemos reducir a $3^5 = 243$ mediante la agrupación de los números en pares: $(2,12),(3,11),(4,10),(5,9),(6,8)$. El estado identifica cuántos números de cada par se cruzan.

Ahora forma un $243\times 243$ de la matriz de transición $A$ que $A_{st}$ es la probabilidad de moverse de estado $s$ estado $t$. Las probabilidades de estado $s$ no suma de a $1$ ya que es posible perder el juego. Suponemos que una vez en la ganancia de estado $W$, el siguiente paso que siempre pierde.

Deje $v_I$ ser el indicador vector de estado inicial, y $v_W$ el indicador de vector de la ganadora del estado. La probabilidad de ganar en exactamente $n$ mueve es $v'_I A^n v_W$, y así la probabilidad de ganar es $$ \sum_{n=0}^\infty v'_I A^n v_W = v'_I \sum_{n=0}^\infty A^n v_W = v'_I (I-A)^{-1} v_W. $$ Usted puede escribir un programa que calcula la matriz de $A$ (con racional de las entradas) y, a continuación, utilizar un álgebra lineal paquete que soporta los números racionales para calcular la probabilidad exacto. Se podría transformar el exacto, es un muy complicada número muy grande el numerador y el denominador, pero el equipo probablemente puede tratar con él el tiempo suficiente.

Actualización: La exacta ganar probabilidad es $$ \frac{126538525259}{24067258815600} \approx 0.00525770409619644.$$ Este número está de acuerdo con los resultados de la simulación por tanto yo y Michael.

Tenga en cuenta que la matriz en cuestión es triangular, por lo que el cálculo es bastante rápido. Podemos interpretar la matriz de $I - A$, de la siguiente manera: $(I-A)_{ss}$ es la probabilidad de perder, mientras que en el estado de $s$, e $(I-A)_{st}$ es menos que la probabilidad de pasar de la $s$$t$; suponemos que después de llegar a la ganadora del estado, perdemos inmediatamente.

Answer 2

Parece una versión de la (difícil) cupón colector problema con probabilidades desiguales. Quizás desee simular. Aquí están algunos resultados exactos en versiones simplificadas del problema:

1) Supongamos que todos los 11 de opciones de $\{2, \ldots, 12\}$ tienen igual probabilidad. La probabilidad de obtener todos los no-7 números antes de ver "7" es entonces la probabilidad de que 7 es el último número para ser visto. Desde los 11 números tienen la misma probabilidad de ser el "último para ser visto," esta probabilidad es $1/11$. También puede ser calculado como: $$ \left(\frac{10}{11}\right)\left(\frac{9}{10}\right)\left(\frac{8}{9}\right)\cdots \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{11} $$

2) Suponga que la probabilidad de contraer $7$ $1/6$ (que realmente lo es), pero pretender que todos los otros 10 los números tienen la misma probabilidad de $(5/6)\frac{1}{10}$. La probabilidad de obtener 7 último es: $$ \left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{(5/6)(9/10)}{1/6+(5/6)(9/10)}\right)\left(\frac{(5/6)(8/10)}{1/6+(5/6)(8/10)}\right)\left(\frac{(5/6)(7/10)}{1/6+(5/6)(7/10)}\right)\cdots\left(\frac{(5/6)(1/10)}{1/6+(5/6)(1/10)}\right) $$ Esto se simplifica a: $$ \left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{1}{\frac{2}{9}+1}\right)\left(\frac{1}{\frac{2}{8}+1}\right)\left(\frac{1}{\frac{2}{7}+1}\right)\cdots\left(\frac{1}{\frac{2}{1}+1}\right) = \frac{1}{66} $$

3) La respuesta verdadera: La verdadera respuesta sería menos de $1/66$ desde pretendiendo que todos los otros 10 números tienen iguales probabilidades de $(5/6)(1/10)$ hace que sea más probable que vea todo lo demás antes de ver 7.

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Como otra variación, exactamente se puede calcular el número esperado de distintos números de rodar antes de ver a un "7". La respuesta es $\approx 3.161472$, mientras que de ganar el juego requiere que usted para ver todos 10 antes de ver a un "7". Aquí está el cálculo:

Definir $X$ como la cantidad de los distintos números visto antes de ver a un "7". Por lo $X \in \{0, 1, 2, \ldots, 10\}$. Imaginar una secuencia infinita de tiradas de dados. Para cada una de las $i \in \{1, 2, 3, \ldots\}$, definir $I_i$ como indicador de la función que es $1$ si "7" no se ha producido, en bobinas (rollos) $\{1, \ldots, i\}$ y si sale el $i$ agrega un distinto número nuevo visto. A continuación,$X = \sum_{i=1}^{\infty} I_i$, así: $$ E[X] = \sum_{i=1}^{\infty} E[I_i] =\sum_{i=1}^{\infty} Pr[I_i=1]=\sum_{i=1}^{\infty} (5/6)^{i}\sum_{j\neq 7} p_j(1-p_j)^{i-1} $$ donde definimos $p_j$ como la probabilidad condicional de que un determinado rollo es $j$, debido a que no es 7. Así $p_1 = \frac{1/36}{5/6}$, $p_2=\frac{2/36}{5/6}$, $p_3=\frac{3/36}{5/6}$, y así sucesivamente, con $p_1=p_{12}$, $p_2=p_{11}$, y así sucesivamente. Por lo tanto: \begin{align} E[X] &= \sum_{i=1}^{\infty} (5/6)^{i}\left(2\sum_{j=2}^6p_j(1-p_j)^{i-1}\right)\\ &=\sum_{j=2}^6 \frac{p_j}{1-p_j}\sum_{i=1}^{\infty} [(5/6)(1-p_j)]^i\\ &=\sum_{j=2}^6 \frac{p_j}{1-p_j}\left(\frac{(5/6)(1-p_j)}{1-(5/6)(1-p_j)}\right)\\ &=\sum_{j=2}^6 \frac{p_j(5/6)}{1-(5/6)(1-p_j)}\\ &\approx 3.161472 \end{align}

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Me escribió un programa en C para simular $10^8$ experimentos independientes. La simulación muestra el número promedio de distintas números visto antes de las 7 es $\approx 3.161488$ (muy buen partido a la anterior respuesta exacta), y una probabilidad de éxito de $\theta \approx 0.005252$, $1/\theta = 190.384$. Así que, asumiendo mi simulación de éxitos no tuvo errores, la respuesta es que alrededor de 1 de cada 190 horas que va a obtener un éxito (donde el éxito se define como la obtención de todos los otros números antes de las 7).

Answer 3

Usted puede hacer esto exactamente de una manera directa mediante la inclusión-exclusión principio para calcular 1 menos la probabilidad de obtener un 7 antes de que al menos uno de los otros números. Usted puede encontrar una verdadera fácil de seguir que escribir de cómo obtener la probabilidad de los números antes de que otros números a través de la inclusión-exclusión en la última respuesta aquí que también se describe cómo obtener el promedio de número de rollos. Haciendo por todos los números es tedioso, pero es lo que los ordenadores son para. En esa página también enlaces a mi propia explicación y una R script en otro sitio que calcula los términos con la ayuda de un combn función. La probabilidad de que usted quiere es 1 menos la última probabilidad calculada por que R script que a los 15 lugares es $0.00525770409617443$.

Estaremos computación 1 menos la probabilidad de que un 7 ocurren antes de que uno o más de los otros números. Para calcular esta probabilidad, la primera suma de las probabilidades de un 7 ocurren antes de cada uno de los 10 números. Este en cuenta los casos en los que se hacen antes de que más que sólo 1 número. Por lo que luego de restar la suma de las probabilidades de que puede ocurrir antes de cada combinación de 2 de los otros números. A continuación, añadimos de nuevo la probabilidad de que pueda ocurrir antes de cada combinación de 3 números, y así sucesivamente. Que la inclusión-exclusión.

Matemáticamente tenemos:

$$ \text{P(rollo de todos los $a_n$ $n \neq N$ antes de $a_N$) = }1-\sum_{j=1}^{|S|-1}\sum_{k=1}^{|S|-1 \elegir j}(-1)^{j+1}\frac{S_N}{S_N+\sum_{i=1}^jC_{i,k}} $$ donde $$ S = \{S_n: S_n=36P(a_n)\} $$ le da al conjunto de números de maneras de rodar $a_n$ total de 36, y $C$ es una matriz cuyas columnas son las combinaciones de tamaño de $j$ $S$ excluyendo $S_N$. Que es

$$ C = \mathrm{Combn}((S - \{S_N\},j)). $$

Por ejemplo, si queremos que la probabilidad de obtener todos los números antes de un 7, entonces tendríamos $S=\{1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6\}$ $S_N = 6$ desde $P(7) = 6/36$, e $a_N = 7$.

La siguiente secuencia de comandos de R implementa esta para la probabilidad de obtener todos los números antes de las 7:

S = c(1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6) # Wynn apuesta
# S = c(1,2,3,4,5,6) # Todos de la altura o de todos los pequeños
N = length(S)
p = 0,
for (j in 1:(N-1)) {
 C = combn(S[1:(N-1)],j)
 for (k in 1:elegir(N-1,j)) {
 p = p + (-1)^(j+1) * S[N]/(S[N] + suma(C[1:j,k]))
}
}
1-p

Salida:

> 1-p
[1] 0.00525770409617443

Usted puede hacer esto para todos los pequeños o todos los altos apuesta por simplemente descomentar la línea que sustituye a S $\{1,2,3,4,5,6\}$. Esto le da a los 15 dígitos $0.0263539092486457$.