Un número es un cuadrado perfecto si y solo si tiene un número impar de divisores positivos

Question

Creo que tengo la solución a este problema, pero de todas formas, lo publico para recibir retroalimentación y soluciones/ángulos alternativos.

Para todo $n \in \mathrm {Z_+}$, demuestra que $n$ es un cuadrado perfecto si y solo si $n$ tiene un número impar de divisores positivos.

$\Rightarrow$: Si $n$ es un cuadrado perfecto, debe estar compuesto por 1+ factores primos cada uno elevado a una potencia par. Si $n$ está compuesto por 1+ factores primos cada uno elevado a una potencia par, debe tener un número impar de divisores positivos porque cada potencia par contribuye a sí misma más $1$ (para el caso de $0$) al número de divisores del producto $n$.

$\Leftarrow$: Si $n$ tiene un número impar de divisores positivos, debe estar compuesto por 1+ factores primos cada uno elevado a una potencia par. Si $n$ está compuesto por 1+ factores primos cada uno elevado a una potencia par, debe ser un cuadrado perfecto.

Gracias.

Answer 1

PISTA: Escribe $n = p_1^{a_1} \dots p_k^{a_k}$, donde $p_1, \dots, p_k$ son primos distintos. Entonces, el número de divisores positivos de $n$ está dado por $(a_1 + 1)(a_2 + 1)\dots(a_k+1)$. Para que este número sea impar, cada uno de los términos $a_i + 1$ también debe ser impar. ¿Qué nos dice esto acerca de cada $a_i$?

Answer 2

Si $a$ y $b$ son enteros positivos distintos tales que $ab=n$, llamamos a la pareja $\{a,b\}$ una pareja, o en el lenguaje orientado a los negocios de hoy en día, socios. Llamamos a un divisor positivo $a$ de $n$ autosuficiente si $a$ no tiene pareja. Observa que $a$ es autosuficiente si y solo si $\frac{n}{a}=a$, es decir, si y solo si $n$ es un cuadrado perfecto y $a$ es su raíz cuadrada.

Si $n$ no es un cuadrado perfecto, el conjunto de divisores positivos de $n$ está formado por un número, posiblemente $0$, de parejas, por lo que el número de divisores de $n$ es par.

Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces el conjunto de divisores positivos de $n$ está formado por un número de parejas, junto con un número autosuficiente, por lo que el número de divisores positivos es impar.

Answer 3

Si dos enteros se multiplican para igualar a N, agregarás dos divisores a tu total para ese número. Esto será cierto para todos los valores excepto cuando los dos enteros son iguales. Los divisores siempre se agregarán en pares excepto en este caso. Por lo tanto, la única forma de llegar a un total impar es cuando los dos divisores son iguales, o N es un cuadrado perfecto.

Answer 4

Su dirección hacia adelante parece buena. La respuesta aceptada hace un buen trabajo usando la notación convencional para la suma de divisores positivos, $\nu(n)$. Aquí está la dirección inversa.

Sea $n$ algún cuadrado. Ahora, $n^2=n\cdot n=(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_l^{\alpha_l})\cdot(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_l^{\alpha_l})=p_1^{2\alpha_1}p_2^{2\alpha_2}\cdots p_l^{2\alpha_l}$. Es evidente que los exponentes (es decir, los $2\alpha_i$) de la factorización prima deben ser pares. Por lo tanto, $\nu(n^2)=(2\alpha_1+1)(2\alpha_2+1)\cdots(2\alpha_l+1)$. Evidentemente cada término de $\nu(n^2)$ debe ser impar, lo que significa que su producto será impar, es decir, $\nu(n^2)$ es impar.

Un ejemplo práctico es $\nu(196)$: $196=14\cdot14=(2^1\cdot7^1)\cdot(2^1\cdot7^1)=2^{2(1)}\cdot7^{2(1)}=2^2\cdot7^2$. $\nu(196)=\nu(14^2)=(2+1)(2+1)=9$. Evidentemente $196$ tiene $9$ divisores positivos: $1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196$.